Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Stetigkeit » Lipschitz-Stetigkeit einer mehrdimensionalen Abbildung
Autor
Universität/Hochschule J Lipschitz-Stetigkeit einer mehrdimensionalen Abbildung
LernenWollen
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 06.06.2019
Mitteilungen: 79
  Themenstart: 2021-06-06

Guten Tag, die Lipschitz-Stetigkeit im Eindimensionalen ist etwas, zu dem man viel lesen kann, aber zum Mehrdimensionalen etwas zu finden, das gut erklärt, ist dann doch schwer. Angenommen, ich habe eine Abbildung $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},~~ x \mapsto x_1x_2$. Hier möchte ich zeigen, dass ein $L \in [0, \infty)$ existiert mit $||x_1x_2 - y_1y_2|| \leq L||x - y||$ für alle $x, y$ des Definitionsbereichs von $f$. Dann wäre ja aber $||x - y|| = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2}$ und man hat eigentlich $||x_1x_2 - y_1y_2|| \leq L\sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2}$ als zu lösendes Problem stehen. Wie kann ich in solchen Situationen einen Lösungsweg finden? Vielen Dank, LernenWollen


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 758
Wohnort: Köln
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-06

Hallo, hier kannst du eigentlich gar keine globale Lipschitz-Konstante erwarten. Betrachte den Punkt $x:=(x_0,0)$ und $y:=(x_0,h)$ für ein $h>0$. Dann gilt offenbar $\lVert x-y\rVert=h$ und man hat $$ |f(x)-f(y)|=|x_0\cdot 0-x_0\cdot h|=|x_0|\cdot h=|x_0|\cdot\lVert x-y\rVert. $$ Da $x_0$ aber beliebig große Werte annehmen kann, kann es auch keine globale Konstante $L$ mit $$ |f(x)-f(y)|\leq L\lVert x-y\rVert $$ für alle $x,y\in \mathbb R^2$ geben. Anschaulich gesprochen liegt das unter anderem daran, dass $f$ für bestimme Punkte quadratisch wächst, eine Lipschitz-Konstante aber global nur lineares Wachstum zulassen würde. LG Nico


   Profil
LernenWollen
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 06.06.2019
Mitteilungen: 79
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-07

Hallo, vielen Dank. Ich habe mir mal die Abbildung in einem 3D-Programm angesehen und ja, man sieht es. Sollte ich öfter machen. Und selbst wenn nicht, fällt eigentlich schnell auf, dass für $x_1 = x_2$ folgt: $f(x_1, x_2) = x_1x_2 = x_1^2$. Und das erlaubt keine Lipschitz-Stetigkeit. Okay, das war nun nur ein Beispiel, aber ich will daraus lernen, weniger versteift ranzugehen. Liebe Grüße LernenWollen


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 758
Wohnort: Köln
  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-07

Hallo, als kleinen Nachtrag sei aber gesagt, dass so eine Funktion wie dein $f$ zumindest eine Art lokale Lipschitz-Eigenschaft hat. Deine Abbildung ist stetig differenzierbar und daher gilt: Ist $K\subseteq \mathbb R^2$ kompakt und konvex, so gilt für alle $x,y\in K$, dass $$ |f(x)-f(y)|\leq L\cdot \lVert x-y\rVert, $$ mit $L:=\sup_{x\in K} \lVert Df(x)\rVert_{\mathrm{op}}$. Dabei bezeichnet $\lVert \cdot\rVert_{\mathrm{op}}$ die Operatornorm. Allgemeiner hat man den $\textbf{Satz (Schrankensatz).}$ Sei $D\subseteq \mathbb R^n$ offen, $f\colon D\to \mathbb R^m$ stetig differenzierbar und $K\subset D$ kompakt und konvex. Dann gilt für alle $x,y\in K$ $$ \lVert f(x)-f(y)\rVert\leq L\cdot \lVert x-y\rVert, $$ mit $L:=\sup_{x\in K} \lVert Df(x)\rVert_{\mathrm{op}}$. Insbesondere sind solche Abbildung also lokal Lipschitzstetig. LG Nico


   Profil
LernenWollen
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 06.06.2019
Mitteilungen: 79
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-07

Danke sehr, den Schrankensatz muss ich mir noch einmal genauer ansehen. :-) Liebe Grüße LernenWollen


   Profil
LernenWollen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
LernenWollen hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
LernenWollen wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]