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Physik » Physikalisches Praktikum » Standardmessunsicherheit
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Universität/Hochschule J Standardmessunsicherheit
Tidus2k6
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  Themenstart: 2021-06-08

Hi! Ich muss euch erneut ein paar Fragen stellen, wo ich nicht so recht weiter weiß. Ich habe derweil unzählige Bücher und Guidelines angelesen, bin aber bzgl. meinen Fragestellungen nicht fündig geworden. Aktuell werte ich eine Vielzahl verschiedenster Daten aus und möchte die Standardmessunsicherheit bestimmen. 1.) Lässt sich die Standardmessunsicherheit durch die einfache Stichproben-Standardabweichung \ \sigma_x ermitteln, oder durch die Standardabweichung des Mittelwerts \ \sigma_x^- ? 2.) Ich habe vor die Standardmessunsicherheit für \ 1-\alpha = 0.05 anzugeben (1.96s). Wenn ich diesen Vertrauensbereich wähle, bin ich da nicht schon bei der erweiterten Messunsicherheit? Falls nicht, dann müsste ich für die erweiterte Messunsicherheit die Standardmessunsicherheit noch mit einem k-Faktor multiplizieren, richtig? 3.) Bei sehr wenigen Messwerten einer Messreihe wird empfohlen, einen t-Faktor zu verwenden, welcher von der Messanzahl und dem Vertrauensniveau abhängt. Gehe ich hier nicht auch schon in Richtung erweiterte Messunsicherheit über da man hier ein Vertrauensbereich wählt??


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sebp
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-08

1) Wenn \(\sigma\) die Stichproben-Standardabweichung ist, dann ist \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\) die Standardunsicherheit. 2) Ja 3) weiss nicht


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Spock
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-08

Hallo Tidus, vielleicht noch ein paar Ergänzungen/Anmerkungen zu den Antworten von sebp: "Standardmessunsicherheit" ist der neuere Begriff für Standardfehler bzw. mittlerer Fehler des Mittelwertes. Man versucht neuerdings, den Begriff "Fehler" zu vermeiden, und spricht stattdessen von "Unsicherheit". Man gibt Ergebnisse von irgendwie gemittelten Meßgrößen in der Physik fast immer in der Form an Ergebnis=Mittelwert +-\sigma/sqrt(n) , wobei \sigma die Standardabweichung der Einzelwerte und n die Anzahl der Meßwerte bezeichnet. Eine Gaußverteilung vorausgesetzt, bedeutet die obige Angabe die 1 \sigma Vertrauenswahrscheinlichkeit, und die ist in den physikalischen Praktikas an der Uni meistens ausreichend. Beachte aber: Statistik beginnt so richtig erst ab 5 Meßwerten, und ist die Anzahl der Meßwerte kleiner als ca. 30, ist die Annahme einer Gaußverteilung nicht immer sinnvoll. Bei der Angabe von Unsicherheiten zu vorgegebenen Vetrauensintervallen nimmt man dann geschickterweise die sogenannte Student t-Verteilung, womit wir bei Deiner Frage 3) wären. Dir ist Student t bekannt, d.h. Du weißt, wie man den t Wert bei vorgegebenem Vertrauensintervall berechnet? Grüße Juergen


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Tidus2k6
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-08

Hi! Vielen Dank für eure Antworten! @Spock: Ja, mir ist Student-t bekannt und wie der jeweilige t-Faktor zu bestimmen ist. (Zunächst wird die Anzahl n an Freiheitsgerade ermittelt, das Vertrauensniveau gewählt und der entsprechende t-Faktor aus der Student-t Tabelle entnommen.) Nur um nochmal sicher zu gehen, habe ich ein kleines Beispiel vorbereitet: Meine relativen Messwerte seien (in %): 2.3 1.9 -0.1 -0.7 4.1 3.0 4.3 2.9 Daraus ergibt sich eine Stichproben-Standardabweichung \(\sigma_x\): 1.8% Die Standardmessunsicherheit ergibt sich aus: \(\sigma_{\overline{x}} = t \cdot \frac{\sigma_x}{\sqrt{n}} \) = 0.7% mit \( t_{1-\alpha \approx 68 \%} = 1.07\), da hier wenige Messwerte vorhanden sind, wird die Student-t Verteilung angenommen. Soweit so gut? Nun zu meiner eigentlichen Problematik: Wenn ich jetzt das Vertrauensniveau \( t_{1-\alpha = 95 \%} = 2.31\) wähle, ergibt sich für die Standardmessunsicherheit 1.5%. Aber ist diese Wahl für die Standardmessunsicherheit erlaubt? Ich möchte nämlich später mehrer Unsicherheitsbeiträge mittels geometrischer Addition ( \( \sqrt{u_1 ^2 + u_2 ^2 + ... + u_n^2} \) ) zusammenführen und im Anschluss die erweiterte Messunsicherheit mit dem k-Faktor = 2 (95%) verwenden. Oder darf man das nicht, da die 95% bereits über den t-Faktor der Student-t Verteilung bei der Standardmessunsicherheit eingeflossen sind? Ich hoffe ich mache es nicht allzu kompliziert ^^"...


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Spock
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-08

Hallo Tidus! \quoteon(2021-06-08 16:40 - Tidus2k6 in Beitrag No. 3) ... und der entsprechende t-Faktor aus der Student-t Tabelle entnommen ... \quoteoff Grundsätzlich würde ich Dir von der Verwendung von Tabellen abraten, frei nach dem Motto, "traue keiner Statistik, die Du nicht selbst falsch gemacht hast", :-) Programmiere Dir die Student t-Verteilung selbst, ist eine nette kleine mathematische Aufgabe. Der t Wert einer zweiseitigen Student Verteilung mit 95% Vertrauenswahrscheinlichkeit (5% Fehlerwahrscheinlichkeit) ist für m=7 Freiheitsgrade übrigens t = 2.365, und nicht, wie Du schreibst, t = 2.31 \quoteon(2021-06-08 16:40 - Tidus2k6 in Beitrag No. 3) ... Nur um nochmal sicher zu gehen, habe ich ein kleines Beispiel vorbereitet: Meine relativen Messwerte seien ... \quoteoff Die Angabe von Meßwerten gleich in Prozent ist eher ungewöhnlich, machst Du gerade einen Alkoholtest? :-) Auf welche Größe hast Du denn die Messwerte bezogen, u.U. ist diese Größe auch fehlerbehaftet? Das hier \quoteon(2021-06-08 16:40 - Tidus2k6 in Beitrag No. 3) ... Ich möchte nämlich später mehrer Unsicherheitsbeiträge mittels geometrischer Addition ( \( \sqrt{u_1 ^2 + u_2 ^2 + ... + u_n^2} \) ) zusammenführen und im Anschluss die erweiterte Messunsicherheit mit dem k-Faktor = 2 (95%) verwenden. Oder darf man das nicht, da die 95% bereits über den t-Faktor der Student-t Verteilung bei der Standardmessunsicherheit eingeflossen sind? ... \quoteoff mußt Du näher erklären, ich vermute Du willst Fehlerfortpflanzung betrachten? Grundsätzlich sollte man zuerst alle Standardfehler zusammenfassen, und am Schluß den Gesamtfehler mit dem entsprechendem t Faktor multiplizieren. Die Vertrauenswahrscheinlichkeit (den t Faktor) legt man selbst fest, und sie richtet sich nach den Sicherheits-Ansprüchen der jeweiligen Anwendung. Wie schon gesagt reicht im physikalischen Praktikum meistens t in der Nähe von 1 (ca.68% Vertauenswahrscheinlichkeit), wenn Du z.B. in der Luft/Raumfahrt-Industrie arbeitest, sind 99.9% nicht unüblich. Grüße Juergen


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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-08

\quoteon(2021-06-08 17:22 - Spock in Beitrag No. 4) Grundsätzlich würde ich Dir von der Verwendung von Tabellen abraten, frei nach dem Motto, "traue keiner Statistik, die Du nicht selbst falsch gemacht hast", :-) Programmiere Dir die Student t-Verteilung selbst, ist eine nette kleine mathematische Aufgabe. \quoteoff Wird gemacht ^^. \quoteon(2021-06-08 17:22 - Spock in Beitrag No. 4) Die Angabe von Meßwerten gleich in Prozent ist eher ungewöhnlich, machst Du gerade einen Alkoholtest? :-) Auf welche Größe hast Du denn die Messwerte bezogen, u.U. ist diese Größe auch fehlerbehaftet? \quoteoff Die gesuchte Größe ist Gray. Es geht u.a. darum diverse relative Standardmessunsicherheit zu bestimmen. Daher teile ich die absoluten Standardmessunsicherheiten durch den vorher erhaltenen Mittelwert. \quoteon(2021-06-08 17:22 - Spock in Beitrag No. 4) Das hier (...) mußt Du näher erklären, ich vermute Du willst Fehlerfortpflanzung betrachten? \quoteoff Genau ich möchte zum "Schluss" eine Fehlerfortpflanzung betrachten. Ok : ), ich versuche es erneut: Wie bereits erwähnt möchte ich die relativen Standardmessunsicherheiten zum Vertrauensniveau 95% (1.96s) angeben. Das heißt, dass ich bei wenigen Messwerten den t-Faktor bei diesem Vertrauensniveau wähle. Für viele Messwerte würde ich \(n -> \infty \) annehmen und t = 1.96 wählen. So, mal angenommen ich hätte nun alle (relativen) Standardmessunsicherheiten zum Vetrauensniveau 95% berechnet. Ab hier würde ich die ganzen Unsicherheitsbeiträge \( u_1^2 \, , u_2^2 \, , \, ... \, ,\, u_n^2 \) mittels geometrischer Addition zu einer "Gesamtunsicherheit" \(u \) zusammenfassen und hätte damit ein relatives Unsicherheitsbudget. Nun, exisitiert neben der relativen Standardmessunsicherheit noch die relative erweiterte Messunsicherheit (mir ist bekannt, dass diese beiden Arten völlig verschiedene Bedeutungen haben). Die relative erweiterte Messunsicherheit ist gegeben durch \( U = k \cdot u \) Den Erweiterungsfaktor \( k \) setze ich auf k = 1.96 (für eine Überdeckungswahrscheinlichkeit von 95%) Nun zum eigentlichen knackpunkt: für die relativen Standardmessunsicherheiten habe ich bereits das Vertrauensniveau 95% gewählt. Die Gesamtunsicherheit ist damit als 1.96s angegeben. Hier wäre ich ja noch bei Standardmessunsicherheiten und nicht bei erweiterten Messunsicherheiten oder? Für die erweiterte Messunsicherheit würde im Anschluss >noch< ein Faktor 1.96 hinzukommen um die erweiterte Messunsicherheit zu erhalten. Ich hoffe dass es so eindeutiger ist ^^"


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Spock
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-10

Hallo Tidus, ich bin nicht sicher, ob ich Dich richtig verstehe, und ob Du das alles nicht etwas zu kompliziert betrachtest. Egal, welche Verteilung und Vertrauenswahrscheinlichkeiten Du am Ende annimmst, Du solltest zunächst alle Standardfehler zusammenfassen (Fehlerfortpflanzung) und am Ende für den Gesamt-Standardfehler die Vertrauenswahrscheinlichkeit festlegen. Dabei kannst Du getrost Student t nehmen, auch wenn Du bei Teilen Deiner Messungen sehr viele Meßwerte hast. Ab einem bestimmten Stichprobenumfang (typisch n>30) ist kaum mehr ein Unterschied zwischen Gauß- und Student t- Verteilung. Grüße Juergen


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Tidus2k6 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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