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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Gleichmäßige Konvergenz unabhängig
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Universität/Hochschule J Gleichmäßige Konvergenz unabhängig
LamyOriginal
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  Themenstart: 2021-06-08

Hallo, ich arbeite einen Beweis durch und habe eine Frage zu folgender Stelle: im Beweis wurde eine Abschätzung zweier Funktionen gemacht: $|P^n(t)-x^n(t)|\leq ...=M\frac{h}{n}$. Dann kam der von $t$ unabhängige Ausdruck raus, welcher für $n \to \infty$ gegen $0$ geht. Daraufhin folgt: $|P^n(t)-x^n(t)|\to 0$ für $n\to \infty$ $\textbf{gleichmäßig}$ in $t$. Warum gleichmäßig in $t$? Liegt es daran, dass wir dann $|P^n(t)-x^n(t)|$ durch eine ganz kleine Zahl $\epsilon>0$ (wegen $\leq … \to 0$) abschätzen können ab einem Index $n'$ und insbesondere der Ausdruck $M\frac{h}{n}\overset{n \to \infty}{\to} 0$ unanhängig von $t$ ist, daher die gleichmäßige Konvergenz in $t$? Danke!


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-08

\quoteon(2021-06-08 14:25 - LamyOriginal im Themenstart) Hallo, ich arbeite einen Beweis durch und habe eine Frage zu folgender Stelle: im Beweis wurde eine Abschätzung zweier Funktionen gemacht: $|P^n(t)-x^n(t)|\leq ...=M\frac{h}{n}$. Dann kam der von $t$ unabhängige Ausdruck raus, welcher für $n \to \infty$ gegen $0$ geht. Daraufhin folgt: $|P^n(t)-x^n(t)|\to 0$ für $n\to \infty$ $\textbf{gleichmäßig}$ in $t$. Warum gleichmäßig in $t$? Liegt es daran, dass wir dann $|P^n(t)-x^n(t)|$ durch eine ganz kleine Zahl $\epsilon>0$ (wegen $\leq … \to 0$) abschätzen können ab einem Index $n'$ und insbesondere der Ausdruck $M\frac{h}{n}\overset{n \to \infty}{\to} 0$ unanhängig von $t$ ist, daher die gleichmäßige Konvergenz in $t$? Danke! \quoteoff Hallo, das ist ja fast die Definition der gleichmäßigen Konvergenz. Seien $f_n,f\colon I\to \mathbb R$ Funktionen. Man sagt, dass $f_n\overset{\text{glm}}{\longrightarrow}f$, falls es für jedes $\varepsilon >0$ ein $N\in \mathbb N$ derart gibt, dass für alle $n\geq N$ $$ \sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon $$ gilt. Man kann auch sagen, dass es eine Nullfolge $(a_n)$ gibt, so dass $$ \sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)| \leq a_n $$ für alle $n\in \mathbb N$ gilt. Im Prinzip ist das einfach das "Sandwichlemma". Du hast in deinem Fall $$ 0\leq |P_n(t)-x^n(t)|\leq a_n $$ wobei $a_n$ eine Nullfolge ist. Für $n\to \infty$ konvergieren also beide Seiten der Ungleichung gegen $0$ und damit auch das Supremum des Betrags. LG Nico


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-08

\quoteon(2021-06-08 14:29 - nzimme10 in Beitrag No. 1) das ist ja fast die Definition der gleichmäßigen Konvergenz. Seien $f_n,f\colon I\to \mathbb R$ Funktionen. Man sagt, dass $f_n\overset{\text{glm}}{\longrightarrow}f$, falls es für jedes $\varepsilon >0$ ein $N\in \mathbb N$ derart gibt, dass für alle $n\geq N$ $$ \sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon $$ gilt. Man kann auch sagen, dass es eine Nullfolge $(a_n)$ gibt, so dass $$ \sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)| \leq a_n $$ für alle $n\in \mathbb N$ gilt. Im Prinzip ist das einfach das "Sandwichlemma". Du hast in deinem Fall $$ 0\leq |P_n(t)-x^n(t)|\leq a_n $$ wobei $a_n$ eine Nullfolge ist. Für $n\to \infty$ konvergieren also beide Seiten der Ungleichung gegen $0$ und damit auch das Supremum des Betrags. \quoteoff Stimmt, danke! Es gibt ja noch die Defintion $lim_{n\to\infty} sup_{x \in D} |f_n(x)-f(x)|=0$... vielen Dank nochmal!


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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-08

\quoteon(2021-06-08 14:36 - LamyOriginal in Beitrag No. 2) \quoteon(2021-06-08 14:29 - nzimme10 in Beitrag No. 1) das ist ja fast die Definition der gleichmäßigen Konvergenz. Seien $f_n,f\colon I\to \mathbb R$ Funktionen. Man sagt, dass $f_n\overset{\text{glm}}{\longrightarrow}f$, falls es für jedes $\varepsilon >0$ ein $N\in \mathbb N$ derart gibt, dass für alle $n\geq N$ $$ \sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon $$ gilt. Man kann auch sagen, dass es eine Nullfolge $(a_n)$ gibt, so dass $$ \sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)| \leq a_n $$ für alle $n\in \mathbb N$ gilt. Im Prinzip ist das einfach das "Sandwichlemma". Du hast in deinem Fall $$ 0\leq |P_n(t)-x^n(t)|\leq a_n $$ wobei $a_n$ eine Nullfolge ist. Für $n\to \infty$ konvergieren also beide Seiten der Ungleichung gegen $0$ und damit auch das Supremum des Betrags. \quoteoff Stimmt, danke! Es gibt ja noch die Defintion $lim_{n\to\infty} sup_{x \in D} |f_n(x)-f(x)|=0$... vielen Dank nochmal! \quoteoff Was ich geschrieben habe ist exakt die Definition dafür, dass der Limes eben $0$ ist. Eine Folge $(b_n)$ ist eine Nullfolge wenn es für jedes $\varepsilon>0$ ein $N\in \mathbb N$ derart gibt, dass für alle $n\geq N$ $|b_n|<\varepsilon$ gilt. Schreibe $b_n:=\sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|$ und du hast die Definition der gleichmäßigen Konvergenz, die ich oben geschrieben habe. LG Nico


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-08

\quoteon Was ich geschrieben habe ist exakt die Definition dafür, dass der Limes eben $0$ ist. Eine Folge $(b_n)$ ist eine Nullfolge wenn es für jedes $\varepsilon>0$ ein $N\in \mathbb N$ derart gibt, dass für alle $n\geq N$ $|b_n|<\varepsilon$ gilt. Schreibe $b_n:=\sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|$ und du hast die Definition der gleichmäßigen Konvergenz, die ich oben geschrieben habe.\quoteoff Ja genau das meinte ich. Ich habe mit der anderen Definition $\forall \epsilon >0 \exists N \in \mathbb{N}: \forall n\geq N:...$ gearbeitet und die total übersehen, danke!


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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-08

\quoteon(2021-06-08 14:51 - LamyOriginal in Beitrag No. 4) \quoteon Was ich geschrieben habe ist exakt die Definition dafür, dass der Limes eben $0$ ist. Eine Folge $(b_n)$ ist eine Nullfolge wenn es für jedes $\varepsilon>0$ ein $N\in \mathbb N$ derart gibt, dass für alle $n\geq N$ $|b_n|<\varepsilon$ gilt. Schreibe $b_n:=\sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|$ und du hast die Definition der gleichmäßigen Konvergenz, die ich oben geschrieben habe.\quoteoff Ja genau das meinte ich. Ich habe mit der anderen Definition $\forall \epsilon >0 \exists N \in \mathbb{N}: \forall n\geq N:...$ gearbeitet und die total übersehen, danke! \quoteoff Was ich dir damit sagen wollte ist, dass das keine andere Definition ist. Das ist die selbe Definition. LG Nico


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