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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Differenzierbarkeit einer Abbildung
Autor
Universität/Hochschule Differenzierbarkeit einer Abbildung
levin_chich
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 21.01.2021
Mitteilungen: 41
  Themenstart: 2021-06-08

Ich betrachte die Abbildung \(\Phi:M^{n}(\mathbb{R})\longrightarrow M_{s}^{n}(\mathbb{R})\) mit \(\Phi(A)=A^{T}A\). Also eine Abbildung, die vom Raum der nxn Matrizen in den Raum der symmetrischen nxn Matrizen geht. - Wie zeige ich, dass diese Abbildung unendlich oft differenzierbar ist? Es gelang mir leider keine vernünftige Zerlegung, die mir erlaubt hätte, den Differentialquotienten sinnvoll nach oben abzuschätzen. Soll ich vielleicht komponentenweise argumentieren? Leider muss ich das Differential auch ausrechnen, weshalb eine direkte Argumentation über den Differentialquotienten sinniger erscheint. Wäre für jede Hilfe dankbar. Besten Dank! Levin

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zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4415
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-08

Aus $(A+H)^T(A+H)=A^TA+H^TA+A^TH+H^TH$ kannst du die erste Ableitung sofort ablesen: $\Phi'(A)(H)=H^TA+A^TH$. Ganz analog ergibt sich aus $\Phi'(A+K)(H)=H^TA+A^TH+H^TK+K^TH$ die zweite Ableitung. Und da diese zweite Ableitung konstant ist, verschwinden alle höheren Ableitungen. Insbesondere ist $\Phi$ damit unendlich oft differenzierbar. --zippy

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levin_chich
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 21.01.2021
Mitteilungen: 41
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-09

Hallo zippy, danke für die Antwort ich habe leider den Differentialquotienten falsch aufgeschrieben, weshalb ich ständig auf dem Holzweg gelandet bin... Ich danke dir. Ich denke damit dürfte ich es morgen hinkriegen, sonst melde ich mich nochmal. Gute Nacht! 😷 Levin

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levin_chich hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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