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| Autor |
 Stetige zweite partielle Ableitung |
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TomTxl
Neu 
Dabei seit: 09.06.2021
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2021-06-09
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Hallo allerseits, ich soll folgenden Sachverhalt beweisen: Ist eine Funktion $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ $ zweimal stetig partiell differenzierbar, so ist sie zweimal differenzierbar. Ich habe es geschafft, zu zeigen, dass f stetig differenzierbar ist, aber ich schaffe es leider nicht zu zeigen, dass die Ableitung differenzierbar ist, dann wäre die Aussage bewiesen. Mein Ansatz war, zu zeigen, dass alle Richtungsableitungen der Ableitung existieren und stetig sind, aber irgendwie komme ich da nicht voran.
LG, Tom
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2059
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-09
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Hallo Tom und willkommen auf dem Matheplaneten! :)
Am besten führst du hier nochmal ein bisschen aus was du bisher gemacht hast, wenn du möchtest, dass wir dir mit deinem Ansatz weiterhelfen.
Du hast $f\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^m$ ist zweimal stetig partiell differenzierbar und möchtest nun zeigen, dass
$$
Df\colon \mathbb R^n\to \operatorname{Hom}(\mathbb R^n,\mathbb R^m)\cong \mathbb R^{m\times n}, \ x\mapsto (Df(x)\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^m, \ h\mapsto J_f(x)h)
$$
ebenfalls differenzierbar ist, korrekt?
LG Nico
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TomTxl
Neu
Dabei seit: 09.06.2021
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-09
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Ja, genau. Das war auch mein Gedanke, dass man die n x m-Matrizen als isomorphen Raum betrachtet und dann die komponentenweise Differenzierbarkeit für die Einträge der Matrix nachweist, aber irgendwie hat mich das auch nicht weitergebracht, ich weiß nicht, was genau in den Matrixeinträgen steht.
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2059
Wohnort: Köln
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-09
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Hallo Tom,
ich denke es ist einfacher wenn man sich zunächst überlegt was Differenzierbarkeit von $Df$ genau bedeutet. Wir müssen eine lineare Abbildung $L\in \operatorname{Hom}(\mathbb R^n, \mathbb R^{m\times n})$ finden derart, dass
$$
Df(x+h)=Df(x)+L(h)+\varphi(h)
$$
mit $\varphi(h)=o(\lVert h\rVert)$ für alle $h\in B_r(0)$ mit einem geeigneten $r>0$.
LG Nico
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2023-03-24 11:03 U ?
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