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  Kleinster Wert von Term mit drei Veränderlichen |
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Spedex
Aktiv 
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 1092
Wohnort: Wien
 |  Themenstart: 2021-06-09
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\(}{\left(}
\newcommand{\)}{\right)}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\)
Hallo, sei folgende Gleichung gegeben:
\[(x+y-1)^2+(x+z-1)^2+(y-z-1)^2+(x+2y+2z-1)^2\]
Es ist der kleinste mögliche Wert von dieser Gleichung gesucht.
Ich weiß nicht wirklich wie man hier vorangehen soll. Die Aufgabe als Unterpunkt in einer Aufgabe mit Schwerpunkt Lineare Gleichungssysteme.
Könnt ihr mir hier weiterhelfen?
Liebe Grüße
Spedex\(\endgroup\)
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8197
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-09
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\quoteon(2021-06-09 14:30 - Spedex im Themenstart)
Hallo, sei folgende Gleichung gegeben:
\[(x+y-1)^2+(x+z-1)^2+(y-z-1)^2+(x+2y+2z-1)^2\]
\quoteoff
Hallo,
bei der Gleichung fehlt das Gleichheitszeichen.
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-09
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,
Wie schon gesagt wurde: das ist ein Term, keine Gleichung.
Ohne Kontext ist es schwierig, hier zielführend zu helfen. Jedenfalls bekommt man, wenn man das als Funktion \(f(x,y,z)\) auffasst und die partiellen Ableitungen bildet, um den Gradienten anschließend gleich Null zu setzen, ein simples 3x3-LGS. Vielleicht ist das hier ja der Sinn des ganzen?
Dann muss man natürlich für den Fall einer eindeutigen Lösung immer noch nachweisen, dass es sich um ein Minimum handelt.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Spedex
Aktiv 
Dabei seit: 19.03.2020
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Wohnort: Wien
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-09
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Hm, ja ich habe das jetzt mit dem 3x3 LGS gemacht.
Zur Verifizierung, dass das auch tatsächlich ein Minimum ist muss ich ja eine 3 x 3 Hesse Matrix aller zweifachen partiellen Ableitungen bilden, oder?
Liebe Grüße
Spedex
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Diophant
Senior
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-09
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\quoteon(2021-06-09 16:06 - Spedex in Beitrag No. 3)
Hm, ja ich habe das jetzt mit dem 3x3 LGS gemacht.
Zur Verifizierung, dass das auch tatsächlich ein Minimum ist muss ich ja eine 3 x 3 Hesse Matrix aller zweifachen partiellen Ableitungen bilden, oder?
\quoteoff
Ja, das wäre eine Möglichkeit (vermutlich auch die einfachste).
Was hast du denn herausbekommen?
Gruß, Diophant
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Spedex
Aktiv
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Mitteilungen: 1092
Wohnort: Wien
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-09
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\(}{\left(}
\newcommand{\)}{\right)}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\)
Ok, also ich habe es jetzt mit der Hesse Matrix gemacht. War dann doch zweitaufweniger als ich dachte in der Summe.
Ich komme auf:
\[6x+6y+6z=6\]
\[4x+8y+2z=6\]
\[4x+2y+10z=2\]
\[z=- \frac{1}{5}\]
\[y=\frac{2}{5}\]
\[x=\frac{4}{5}\]
Die Hesse Matrix schaut wie folgt aus:
\[ \bpm 6 && 6 && 6 \\ 4 && 8 && 2 \\ 4 && 2 && 10 \epm \]
Dabei sind alle drei Hauptminoren positiv, weswegen es sich um einen Hochpunkt handelt.
Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10519
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-09
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Hallo Spedex,
vom Prinzip her ist es zwar fast richtig. Aber zum einen hast du beim Aufstellen des LGS Rechenfehler drin, zum anderen...
\quoteon(2021-06-09 22:11 - Spedex in Beitrag No. 5)
Dabei sind alle drei Hauptminoren positiv, weswegen es sich um einen Hochpunkt handelt.
\quoteoff
... solltest du das nochmal nachlesen. Drei positive Hauptminoren bedeuten ja, dass die Matrix positiv definit ist. Und das bedeutet für ein lokales Extremum gleich nochmal was?...
Gruß, Diophant
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Spedex
Aktiv
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-10
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Ich habe mir das ganze nochmal angeschaut und meine Fehler gefunden. Außerdem habe ich mich im Beitrag davor verschrieben, ich meinte natürlich Tiefpunkt anstelle von Hochpunkt.
Vielen Dank für die Hilfe.
Liebe Grüße
Spedex
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