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Mathematik » Analysis » Warum Gleichung eindeutig lösbar?
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Universität/Hochschule Warum Gleichung eindeutig lösbar?
Cyborg
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  Themenstart: 2021-06-12

Hallo, Leute! Folgendes Problem: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_eindeutig.jpg Wie zeigt man, dass \(Y\) eindeutige Lösung ist? \(g(X,Y)=\lambda_1=g(X,\widetilde{Y})\) und \(g(X^{\perp},Y)=\lambda_2=g(X^{\perp},\widetilde{Y})\) Ich versuche jetzt irgendwie die lineare Unabhängigkeit von \(X\) und \(X^{\perp}\) auszunutzen. \(X^{\perp}\) ist dabei das um \(90^\circ\) in positive Richtung gedrehte Vektorfeld. Warum muss \(\widetilde{Y}=Y\) sein??? Danke euch.


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Cyborg
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-12

Achso, \(g\) ist das Skalarprodukt!


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zippy
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-12

\quoteon(2021-06-12 10:28 - Cyborg im Themenstart) \(X^{\perp}\) ist dabei das um \(90^\circ\) in positive Richtung gedrehte Vektorfeld. \quoteoff Dieser Satz lässt vermuten, dass du in eine zweidimensionalen Raum arbeitest. In diesem Fall bilden $X$ und $X^\perp$ an jedem Punkt eine Orthogonalbasis und deine beiden Gleichungen legen die Projektion von $Y$ auf die beiden Basisvektoren fest. --zippy


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Cyborg
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-12

Danke dir, zippy! Ich weiß nur, dass \(Z\in T_p M\) ist. Über \(X\) ist nichts gesagt. Du meinst also: \(Y=g(Y,X)\cdot X+g(Y,X^{\perp})\cdot X^{\perp}\) Ach: Weiter oben im Skript steht, dass auch \(X\in T_p M\).


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
zippy
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-12

\quoteon(2021-06-12 10:59 - Cyborg in Beitrag No. 3) \(Y=g(Y,X)\cdot X+g(Y,X^{\perp})\cdot X^{\perp}\) \quoteoff Nein, es ist ja nur eine Orthogonal- und keine Orthonormalbasis. Also: $\displaystyle Y = {g(Y,X)\over g(X,X)}\cdot X + {g(Y,X^\perp)\over g(X^\perp,X^\perp)}\cdot X^\perp$


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