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| Autor |
  Determinante der Weingartenabbildung |
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Cyborg
Aktiv 
Dabei seit: 20.05.2009
Mitteilungen: 675
 |  Themenstart: 2021-06-14
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Hallo, Leute!
\(\langle R(E^{\perp},E)E,E^{\perp}\rangle
=\langle \langle LE,E\rangle LE^{\perp}-\langle LE^{\perp},E\rangle LE,E^{\perp}\rangle
=\langle \langle LE,E\rangle LE^{\perp},E^{\perp}\rangle-
\langle LE^{\perp},E\rangle LE,E^{\perp}\rangle
=
\langle LE,E\rangle\cdot\langle LE^{\perp},E^{\perp}\rangle-\langle LE^{\perp},E\rangle\cdot \langle LE,E^{\perp}\rangle=
\det
\begin{pmatrix}
\langle LE,E\rangle & \langle LE,E^{\perp}\rangle \\
\langle LE^{\perp},E\rangle & \langle LE^{\perp},E^{\perp}\rangle
\end{pmatrix}
\)
Es muss \(\det(L)=K\) (Gaußkrümmung) rauskommen! Dabei ist \((E,E^{\perp})\) eine an einer Fläche tangentiale Orthonormalbasis. \(L\) ist die Weingartenabbildung \(LX=D_X\nu\), wobei \(\nu\) Einheitsnormalenvektor zur Fläche ist.
\blue\ Frage: Wie komme ich von der Determinante oben zu \det(L)???
Gibt es da vielleicht einen Satz aus der Linearen Algebra?? Ich denke mal, es ist wichtig, dass \((E,E^{\perp})\) eine Orthonormalbasis ist.
Danke euch.
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 Profil
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Cyborg
Aktiv 
Dabei seit: 20.05.2009
Mitteilungen: 675
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-14
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Ich habe im Internet ein Skript gefunden, wo einfach steht, dass meine Determinante oben gleich det(L) ist. Da steht auch, dass das für Orthonormalbasen gilt. Ich hätte gerne noch eine Begründung.
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3675
 |  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-14
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
die Matrix
$$ \begin{pmatrix}
\langle LE,E\rangle & \langle LE,E^{\perp}\rangle \\
\langle LE^{\perp},E\rangle & \langle LE^{\perp},E^{\perp}\rangle
\end{pmatrix}$$
ist die transponierte darstellende Matrix von $L$ bezüglich der Basis $E,E^\perp$.
Allgemeiner: Sei $e_1,\ldots ,e_n$ eine Orthonormalbasis eines euklidischen Vektorraums $V$. Dann gilt für jedes $v\in V$ die Gleichung
$$v= \sum_{k=1}^n \langle v, e_k\rangle e_k.$$
\(\endgroup\)
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Cyborg
Aktiv
Dabei seit: 20.05.2009
Mitteilungen: 675
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-14
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OK. Also Stichpunkt "Darstellende Matrix".
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Cyborg hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Cyborg hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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