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Universität/Hochschule J Determinante der Weingartenabbildung
Cyborg
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  Themenstart: 2021-06-14

Hallo, Leute! \(\langle R(E^{\perp},E)E,E^{\perp}\rangle =\langle \langle LE,E\rangle LE^{\perp}-\langle LE^{\perp},E\rangle LE,E^{\perp}\rangle =\langle \langle LE,E\rangle LE^{\perp},E^{\perp}\rangle- \langle LE^{\perp},E\rangle LE,E^{\perp}\rangle = \langle LE,E\rangle\cdot\langle LE^{\perp},E^{\perp}\rangle-\langle LE^{\perp},E\rangle\cdot \langle LE,E^{\perp}\rangle= \det \begin{pmatrix} \langle LE,E\rangle & \langle LE,E^{\perp}\rangle \\ \langle LE^{\perp},E\rangle & \langle LE^{\perp},E^{\perp}\rangle \end{pmatrix} \) Es muss \(\det(L)=K\) (Gaußkrümmung) rauskommen! Dabei ist \((E,E^{\perp})\) eine an einer Fläche tangentiale Orthonormalbasis. \(L\) ist die Weingartenabbildung \(LX=D_X\nu\), wobei \(\nu\) Einheitsnormalenvektor zur Fläche ist. \blue\ Frage: Wie komme ich von der Determinante oben zu \det(L)??? Gibt es da vielleicht einen Satz aus der Linearen Algebra?? Ich denke mal, es ist wichtig, dass \((E,E^{\perp})\) eine Orthonormalbasis ist. Danke euch.


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Cyborg
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-14

Ich habe im Internet ein Skript gefunden, wo einfach steht, dass meine Determinante oben gleich det(L) ist. Da steht auch, dass das für Orthonormalbasen gilt. Ich hätte gerne noch eine Begründung.


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Nuramon
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-14

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, die Matrix $$ \begin{pmatrix} \langle LE,E\rangle & \langle LE,E^{\perp}\rangle \\ \langle LE^{\perp},E\rangle & \langle LE^{\perp},E^{\perp}\rangle \end{pmatrix}$$ ist die transponierte darstellende Matrix von $L$ bezüglich der Basis $E,E^\perp$. Allgemeiner: Sei $e_1,\ldots ,e_n$ eine Orthonormalbasis eines euklidischen Vektorraums $V$. Dann gilt für jedes $v\in V$ die Gleichung $$v= \sum_{k=1}^n \langle v, e_k\rangle e_k.$$ \(\endgroup\)


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Cyborg
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-14

OK. Also Stichpunkt "Darstellende Matrix".


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Cyborg hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Cyborg hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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