Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Kleine_Meerjungfrau Monkfish epsilonkugel
Mathematik » Stochastik und Statistik » Pólya-Urne, Anzahl der Kugeln
Autor
Universität/Hochschule Pólya-Urne, Anzahl der Kugeln
Majazakava
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 07.06.2020
Mitteilungen: 100
  Themenstart: 2021-06-15

Hii, ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe: Ich habe die Pólya-Urne mit einer roten und einer blauen Kugel. Nach jedem Zug, wird die gezogene Kugel und eine weitere Kugel, mit der gleichen Farbe, zurück gelegt. \(R_n\) und \(B_n\) sind die Anzahlen der roten und blauen Kugeln vor der \(n\)-ten Ziehung. Somit also \((R_1,B_1) \ = \ (1,1)\) a) Ich soll nun die Gesamtzahl \(R_n+B_n\) für gegebenes \(n\) berechnen, indem ich die Grundmenge \(\Omega\) erweitere zu einem Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega,\mathcal{A},P)\), der die Anzahl der roten Kugeln im Zeitraum \(\{1,...,N\}\) modelliert. Zudem soll ich die Zufallsvariablen \(R_n\) und \(B_n\) definieren. Ich hab mir überlegt, \(Z_i\) zu definieren als Farbe der \(i\)-ten gezogenen Kugel mit \(rot=0\) und \(blau=1\). Dann hätte ich nämlich \(R_n= 1 + Z_1 + ...+Z_{n-1}\) und \(B_n= 1 + (1-Z_1)+...+(1-Z_{n-1}) = n+1 - R_n\) Wäre dann nicht \(R_n+B_n= n+1\)? (Macht ja eigentlich Sinn, da ich nach jedem Zug, genau eine Kugel dazu gebe.) Die Grundmenge \(\Omega\) soll z.B. so aussehen \(\Omega=\IN^N\) irgenwie, stehe ich hier jedoch auf dem Schlauch. b) Ich soll zeigen, dass für \(n \in {2,...,N}\) und \(2 \le k \le n-1\) \[P(R_n=k \vert R_{n-1} = k) = \frac{n-k}{n} \ , \ \ \ P(R_n=k \vert R_{n-1} = k-1) = \frac{k-1}{n}\] gilt. c) Hier soll ich zeigen, dass \(R_n\) auf \(\{1,...,n\}\) gleichverteilt ist mit \(P(R_n=k)= \frac{1}{n} \ \ \ (n \in \{1,...,N\}, k \in \{1,...,n\})\) Bei den letzten zwei Aufgaben, bin ich eher überfragt. Ich wollte es erst versuchen, indem ich die bedingte Wahrscheinlichkeit umforme, aber das hat mich leider nicht weiter gebracht. Ich bin über jeden Ansatz dankbar. LG Majazakava


   Profil
Kitaktus
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6880
Wohnort: Niedersachsen
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-15

Wenn Du den Ablauf des Zufallsexperiments verstanden hast, ist b) leicht. Was bedeuten denn diese Bedingten Wahrscheinlichkeiten? "Mit welcher Wsk. habe ich vor der n-ten Ziehung genau k rote Kugeln, wenn ich vor der n-1-ten Ziehung auch schon k rote Kugeln hatte?" bedeutet ja umformuliert: "Wenn man vor der n-1-ten Ziehung k rote Kugeln hat, mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man dann _in_ der n-1-ten Ziehung eine blaue?" Mit b) ist c) ein eher einfacher Induktionsbeweis.


   Profil
Majazakava hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]