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  Doppeltes Kreuzprodukt |
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Irrlicht2040
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 25.04.2021
Mitteilungen: 27
 |  Themenstart: 2021-06-15
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Hi, ich habe eine Frage,
ich habe
\( \vec E \times (\vec\nabla \times \vec E) = \frac{1}{2} \vec\nabla \vec E^2 - (\vec E \cdot \vec\nabla ) \vec E \)
Das E und Nabla sind skalar verbunden. Das Skalarprodukt von \( \vec E \) ist der Betrag von \( \vec E \) zum Quadrat, aber ich verstehe leider nicht, wo das \( \frac{1}{2} \) herkommt.
Kann es mir jemand erklären?
lg
Stephan
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10519
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-15
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
vorneweg: deine Notation ist schwierig zu entziffern. Schreibe \times für das Kreuzprodukt, und das Nabla braucht keinen Vektorpfeil.
Es handelt sich hier offensichtlich um die sog. Graßman-Identität und demnach wäre der Vorfaktor \(1/2\) in der Tat falsch. Das wäre dann aber auch nicht der einzige Fehler.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]\(\endgroup\)
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Irrlicht2040
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 25.04.2021
Mitteilungen: 27
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15
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Hi, habe es geändert, danke für den Tipp mit \times das große x sah scheußlich aus.
Mit der B(AC) - C(AB) regel bekomm ich dann.
\( \nabla ( \vec E \cdot \vec E) - \vec E (\nabla \cdot \vec E ) \)
Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist dann der Betrag des Vektors zum Quadrat
\( \vec E \cdot \vec E = |E|^2 \)
Durch das Kreuzprodukt wirkt \( \nabla \) auf das eine E. Meine Dozentin hat es einmal benutzt, meinte dann aber, wir sollten es selbst nachrechnen. Daher habe ich es Versucht und bekomme es nicht hin ...
Der Betrag heißt ja in den Fall, dass \( |E| = \sqrt {E_1^2 + E_2^2 + E_3^2} \) blöd gesagt würde dann für mich heißen, dass \( |E|^2 = E^2 \) ist.
lg
Stephan
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10519
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-15
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2021-06-15 11:46 - Irrlicht2040 in Beitrag No. 2)
Mit der B(AC) - C(AB) regel bekomm ich dann.
\( \nabla ( \vec E \cdot \vec E) - \vec E (\nabla \cdot \vec E ) \)
\quoteoff
Nein, das ist falsch. Es sollte so aussehen:
\[\nabla\times\left(\vec{E}\times\vec{E}\right)=\nabla\circ\vec{E}\cdot\vec{E}-\nabla\circ\vec{E}\cdot\vec{E}=\vec{0}\]
(Ich habe das Skalarprodukt zur besseren Unterscheidung einmal mit '\(\circ\)' notiert.)
\quoteon(2021-06-15 11:46 - Irrlicht2040 in Beitrag No. 2)
Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist dann der Betrag des Vektors zum Quadrat
\( \vec E \cdot \vec E = |E|^2 \)
\quoteoff
So ist es, also ist natürlich \(|\vec{E}|^2=\vec{E}^2\).
Wo kommt das denn her? Vielleicht hilft der Kontext ja dabei, hier Licht ins Dunkel zu bringen...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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wladimir_1989
Senior 
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1687
Wohnort: Freiburg
| Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-15
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Hi Irrlicht2040,
kennst du die $\epsilon$-Tensor-Darstellung vom Kreuzprodukt? Damit lassen sich solche Rechnungen meistens ziemlich elegant durhcführen.
lg Wladimir
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
PS: Bist du dir sicher, dass du im Beitrag 0 richtig geklammert hast? $\vec E \times \vec E$ ist ja trivialerweise 0, da der Kreuzprodukt zwischen zwei beliebigen linear abhängigen Vektoren 0 ist.
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Irrlicht2040
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 25.04.2021
Mitteilungen: 27
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15
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Hi,
wir haben es in Impulsbilanz des elektromagnetischen Feldes benutzt.
Hier hatten wir aufgestellt, dass
\( ( \dot E \times \vec B ) = \frac{\partial}{\partial t} (E \times \vec B) - ( \vec E \times \dot B )
= \frac{\partial}{\partial t} (\vec E \times \vec B) + \vec E (\nabla \times \vec E) \)
für \( \dot B \) haben wird \(\nabla \times \vec E = - \dot B \) eingesetzt.
Anschließend haben wir erstmal \( E \times (\nabla \times \vec E )\) berechnet mit \( \nabla (\vec E \cdot \vec E) - (\vec E \cdot \nabla ) \vec E = \nabla \frac {E^2}{2} - (\vec E \cdot \nabla) \vec E \)
da steht halt das 1/2 mit drin, was ich mir leider nicht erklären kann.
lg Stephan
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Irrlicht2040
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15
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Hi Wladimir,
im Moment noch nicht, werde ich mir aber ansehen. Dank Dir.
lg
Stephan
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Irrlicht2040
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Dabei seit: 25.04.2021
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15
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\quoteon(2021-06-15 12:25 - wladimir_1989 in
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Wario
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Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1111
| Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-15
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\quoteon(2021-06-15 10:30 - Irrlicht2040 im Themenstart)
\( \vec E \times (\vec\nabla \times \vec E) = \frac{1}{2} \vec\nabla \vec E^2 - (\vec E \cdot \vec\nabla ) \vec E \)
\quoteoff
Beachte, dass hier nicht die Graßman-Identität, sondern die Weber-Transformation ausgeschrieben wurde:
Kennt man die "Skalarprodukt-Regel"
$\nabla(\vec{A} \cdot \vec{B})
=(\vec{A} \cdot \nabla)\vec{B}
\,+\, (\vec{B} \cdot \nabla)\vec{A}
\,+\, \vec{A} {\times} (\nabla {\times} \vec{B}) \,+\, \vec{B} {\times} (\nabla {\times} \vec{A})$
(die je nachdem etwas aufwendig herzuleiten ist), folgt für den Sonderfall $\vec{A}=\vec{B}$ ohne Weiteres
$\nabla \vec{A}^2
= 2(\vec{A} {\cdot} \nabla) \vec{A}
\,+\, 2\vec{A} {\times} (\nabla {\times} \vec{A})$ ("Weber-Transformation")
Mit $\vec{A}=\vec{E}$ folgt die Behauptung.
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Irrlicht2040
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 25.04.2021
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15
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Hi,
die Weber-Transformation sieht zwar ganz schon aufwendig aus, aber sier erfüllt es komplett. Dank Dir.
lg
Stephan
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Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1111
| Beitrag No.10, eingetragen 2021-06-15
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\quoteon(2021-06-15 15:33 - Irrlicht2040 in Beitrag No. 9)
die Weber-Transformation sieht zwar ganz schon aufwendig aus, aber sier erfüllt es komplett. Dank Dir.
\quoteoff
Auf die Gefahr einer Begriffsverwechslung: die in #0 gefragte Formel ist die Weber-Transformation.
Die zur Herleitung verwendete "Skalarprodukt-Formel", die die Wirkung des Nabla-Operators auf ein Skalarprodukt beschreibt, leitet man z.B. mit Jacobi-Matrizen her.
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Irrlicht2040
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15
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Hi,
das klappt sehr gut und ich komm auch auf das gewünschte Ergebnis. Danke Euch für die Hilfe.
lg Stephan
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Irrlicht2040 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Irrlicht2040 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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