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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Projektion in R^3 auf einen eindimensionalen UVR
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Universität/Hochschule Projektion in R^3 auf einen eindimensionalen UVR
dvdlly
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  Themenstart: 2021-06-17

Hallo, Ich lese gerade "Mathematics of Machine Learning" und hänge an einer Stelle fest. Gegeben ist ein eindimensionaler Untervektorraum \(U\) aus dem \(\mathbb{R}^3\), \(U = \langle b \rangle\) für ein \(b \in \mathbb{R}^3\). Sei nun \(\pi_{U}(x)\) die Projektion auf \(U\). Dann wird behauptet: Die Projektion habe die Eigenschaft, dass \(\lVert \pi_{U}(x)-x \rVert\) minimiert wird, verglichen mit jeglichem \(\lVert \lambda b - x \rVert\) und daraus soll folgen \(\langle \pi_{U}(x)-x, b \rangle = 0\). Kann mir jemand erklären warum? Vielen Dank!


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-17

Hallo, Also $\langle \pi_U(x)-x,b\rangle=0$ ist ein Teil der Definition einer Projektion. $\pi_U$ ist ja eine orthogonale Projektion auf die Gerade, die von $b$ aufgespannt wird. Ist $x\in \mathbb R^3$, so lässt sich $x$ Zerlegen in einen Anteil $\pi_U(x)\in U$ und einen Anteil $x'\in U^\perp$. Daher gilt $x=x'+\pi_U(x)$ und damit $\pi_U(x)-x=-x'\in U^\perp$. LG Nico


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dvdlly
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-17

Ah okay dann hab ich das wohl falsch verstanden danke :) Also \(\pi_{U}(x)\) habe die Eigenschaft \(\langle \pi_{U}(x) - x, b \rangle = 0\), deswegen ist \(\pi_{U}(x) - x\) im orthogonalen Komplement von \(\langle b \rangle\). Danke nochmal! Noch was, folgt dann nicht direkt \(\pi_{U}(x) = \pi_{U}( u + v) = u\) wobei \(u + v\) die Zerlegung bezüglich \(U\) und dessen orthogonalem Komplement ist?


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-17

\quoteon(2021-06-17 19:47 - dvdlly in Beitrag No. 2) Noch was, folgt dann nicht direkt \(\pi_{U}(x) = \pi_{U}( u + v) = u\) wobei \(u + v\) die Zerlegung bezüglich \(U\) und dessen orthogonalem Komplement ist? \quoteoff Also wenn du mit $u$ den Anteil in $U$ meinst dann ja. $v$ ist ja dann in $U^\perp$ und wird daher auf $0$ abgebildet bei der Projektion. LG Nico


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