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Lineare Algebra » Vektorräume » Dimensionsformel
Autor
Universität/Hochschule J Dimensionsformel
JamesNguyen
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Dabei seit: 08.11.2020
Mitteilungen: 189
  Themenstart: 2021-06-18

Hallo mal wieder, (kleine Anmerkung für andere Anfänger: ich habe schon lange keine Frage zu Hausaufgaben mehr gestellt, weil ich gemerkt habe, dass das für das Studium eigentlich gar nicht nötig ist - aus zwei Gründen: 1. Man muss nicht jede Hausaufgabe lösen: Wenn man sich an eine Aufgabe setzt, dann können verschiedene Fälle eintreten: - Man schafft es die Aufgabe alleine zu lösen. In diesem Fall hat man gerade das Gewünschte erreicht, nämlich ein Problem selbstständig zu lösen. Dieser Fall kann also gar nicht eintreten, wenn man sich Hilfe holt bzw. nach einem Ansatz fragt. Also ein Gefühl dafür zu bekommen wie man einen Ansatz selbstständig findet, kann man nur alleine. - Man findet die Lösung nicht, dann kriegt man ja an jeder Uni in einer Präsenzübungsgruppe die Lösung vorgerechnet oder halt online hochgestellt. Also wenn man nur an der Lösung interessiert ist, dann bekommt man diese letztendlich auch und kann sich diese gerne vor der Prüfung anschauen. - Wenn man in einer Gruppe arbeitet um etwas zu erarbeiten, eine Problem- lösung oder eine Forschungsarbeit. Dann ist man ja an einem Ergebnis interessiert. Da ist es ja nicht unbedingt von Interesse, in welchem Umfang an den mathematischen Fähigkeiten jedes Einzelnen gearbeitet wurde. 2. Wenn man den Vorlesungsinhalt nacharbeitet, dann ist man (wahrscheinlich mit einer nötigen Mindestbefähigung und ich denke auch Eingewöhnungszeit mal länger mal kürzer) in der Lage auch alleine in einer Woche mindestens 50% der Punkte zu erreichen. Wenn man versucht die Vorlesung nachzuvollziehen, dann hat man in den meisten Fällen einfach bereits viele Dinge gesehen und versteht auch die Aufgabenstellung und mit einigem Zeitaufwand kommt man dann auch auf eine Lösung oder manchmal eben nicht.) Daher stelle ich eher nur aus Wunsch zur Vollständigkeit nach langem mal wieder eine Frage. So deshalb jetzt zu meiner Frage zu einer Aufgabe, Seien V, W, U Vektorräume über Ik, sowie φ : V → W und ψ : W → U lineare Abbildungen. Zeigen Sie: b) Seien die Vektorräume endlich-dimensional. Dann gilt rank(ψ) + rank(φ) ≤ rank(ψ ◦ φ) + dim W Ich sitze schon länger dran. Ich kenne bereits (mit Beweis) a) ker(φ) ⊆ ker(ψ ◦ φ) b) im(ψ ◦ φ) ⊆ im(ψ) c) rank(ψ ◦ φ) ≤ min{rank(ψ),rank(φ)} bzw. kann man a) und b) auf die Dimensionen übertragen. Ich habe zudem die Ungleichung bspw. mal auf die Form gebracht. (weiß aber nicht, ob das hilft) dim ker(ψ ◦ φ) ≤ dim ker(φ) + dim ker(ψ) ich komme hier aber irgendwie nicht weiter wie ich argumentieren kann. Ich denke mir fehlt da eine Idee. Beim Beweis für im(ψ ◦ φ) ⊆ im(ψ) wurde bspw. die Eigenschaft der Linearität das Erzeugendensysteme auf Erzeugendensystem abgebildet werden im Fall der Surjektivität benutzt. Der Bezug zur Linearität fehlt mir auch bisher bei meinen Überlegungen. Wie gesagt sitze ich schon länger dran, deshalb denke, dass ich einen ordentlichen Schubs in die richtige Richtung brauche. Gibt eig gar nicht so viele Punkte auf die Aufgabe, deshalb ärgert mich das ein wenig das ich nicht drauf komme. Vielen DanK!


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Nuramon
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-18

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, sei $C$ ein Komplementärraum von $\im \varphi$ in $W$. Zeige zuerst, dass $\rg (\psi) \leq \rg (\psi\circ \varphi) + \dim C$. Wie folgt daraus die Behauptung?\(\endgroup\)


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semasch
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-18

Moin JamesNguyen, eine Möglichkeit, gemeinsam mit deinen bisherigen Überlegungen zum Ziel zu kommen, ist, die Abbildung $\chi := \phi\rvert_{\ker(\psi \circ \phi)}$ zu betrachten und den Rangsatz darauf anzuwenden. LG, semasch [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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JamesNguyen
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-18

Vielen Dank für die Antworten. Ich konnte beide Lösungswege durchdenken. Ich habe mich für die von semasch entschieden, weil die vlt etwas mehr aus meinem ursprünglichen Ansatz über die Kerne kommt. Aber die von Numaron ist auch schön kurz, da musste ich einwenig länger nachdenken, weil da kein weiterer Hinweis dabei war. Bei beiden muss man denke ich bestimmte Abbildungen einschränken und hat dann über den Rangsatz ein Werkzeug zum weitermachen. Da habe ich mich vorher nicht rangetraut.


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