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Lineare Algebra » Vektorräume » Kann jeder Vektor ein Basisvektor sein?
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Universität/Hochschule J Kann jeder Vektor ein Basisvektor sein?
ZigarreMitBart
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-19


Moinsen Ihr lieben,
ich wollte fragen, ob es möglich ist, dass jeder Vektor \(v\in V\) mit \(v\neq 0\) als Basisvektor zählen kann?

Etwas genauer:
Sei \(V\) ein n-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis \(B:=\{v_1,v_2,...,v_n\}\). Die Frage die sich mir nun stellt ist, ob man jeden Vektor in eine Basis wählen kann. Also sei \(v_1'\in V\setminus\{0\}\) ein beliebiger Vektor, so existiert eine Menge \(B_{v_1'}=\{v_1',...,v_n'\}\) die in \(V\) maximal linear unabhängig ist und demnach auch eine Basis.

Habt vielen Dank!



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-19

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Hallo und willkommen hier im Forum!

2021-06-19 15:26 - ZigarreMitBart im Themenstart schreibt:
ich wollte fragen, ob es möglich ist, dass jeder Vektor \(v\in V\) mit \(v\neq 0\) als Basisvektor zählen kann?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Warum sollte dies denn nicht möglich sein?


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Vektorräume' von Diophant]
\(\endgroup\)


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-19


2021-06-19 15:26 - ZigarreMitBart im Themenstart schreibt:
Also sei \(v_1'\in V\setminus\{0\}\) ein beliebiger Vektor, so existiert eine Menge \(B_{v_1'}=\{v_1',...,v_n'\}\) die in \(V\) maximal linear unabhängig ist und demnach auch eine Basis.

Es gilt sogar: Du findest in der ursprünglichen Basis $B=\{v_1,v_2,...,v_n\}$ einen Vektor $v_k$, den du gegen $v_1'$ austauschen kannst, so dass auch $B'=\{v_1,\ldots,v_{k-1},v_1',v_{k+1},\ldots,v_n\}$ eine Basis ist.



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ZigarreMitBart
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-19




Warum sollte dies denn nicht möglich sein?

Ich wüsste jetzt auch nicht, warum dies nicht möglich sein sollte, aber nur weil ich das nicht weiß, heißt es noch lange nicht, dass ich recht habe.

Aber dennoch danke, ich war mir mit meiner Aussage einfach nur unsicher.

MfG ZigarreMitBart





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ZigarreMitBart
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-19



Es gilt sogar: Du findest in der ursprünglichen Basis $B=\{v_1,v_2,...,v_n\}$ einen Vektor $v_k$, den du gegen $v_1'$ austauschen kannst, so dass auch $B'=\{v_1,\ldots,v_{k-1},v_1',v_{k+1},\ldots,v_n\}$ eine Basis ist.

Danke dir Zippy, den Satz hatte ich ganz vergesse 🙃

MfG ZigarreMitBart



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