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Analysis » Folgen und Reihen » Doppelsumme berechnen
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Universität/Hochschule Doppelsumme berechnen
JonasR
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-21


Hallo! Ich bearbeite folgende Aufgabe, wobei ich die a) und b) habe, aber bei der c) nicht weiter komme:

a) $\sum\limits_{v = 0}^{n} \sum\limits_{k = 0}^{v} \binom{v}{k} 3^{v}$
b) $\sum\limits_{l = 0}^{n} \sum\limits_{k = 0}^{l} \binom{l}{k} 3^{k}$
c) $\sum\limits_{v = 0}^{n} \sum\limits_{l = 0}^{n} \binom{l}{v} 3^{v}$


Die ersten zwei Doppelsummen war nicht so schwierig. Da benutze ich zuerst den binomischen Lehrsatz und dann die geometrische Summe. Bei a) und b) habe ich:


a) $\sum\limits_{v = 0}^{n} \sum\limits_{k = 0}^{v} \binom{v}{k} 3^{v} = \sum\limits_{v = 0}^{n} \sum\limits_{k = 0}^{v} \binom{v}{k} 3^{v - k + k} =  \sum\limits_{v = 0}^{n} \sum\limits_{k = 0}^{v} \binom{v}{k} 3^{v - k} \cdot 3^{k} = \sum\limits_{v = 0}^{n} (3 +  3)^{v} = \sum\limits_{v = 0}^{n} 6^{v} = \frac{1 - 6^{n + 1}}{1 - 6}$

b) $\sum\limits_{l = 0}^{n} \sum\limits_{k = 0}^{l} \binom{l}{k} 3^{k} = \sum\limits_{l = 0}^{n} \sum\limits_{k = 0}^{l} \binom{l}{k} \cdot 1^{l - k} \cdot 3^{k} = \sum\limits_{l = 0}^{n} (1 + 3)^{l} = \sum\limits_{l = 0}^{n} 4^{l} =  \frac{1 - 4^{n + 1}}{1 - 4}$


Nur bei der c) komme ich nicht weiter. Ich finde da keine passende Umformung, die mir da weiterhilft. Ich habe die Summe folgendermaßen außgeschrieben:

$\sum\limits_{v = 0}^{n} \sum\limits_{l = 0}^{n} \binom{l}{v} 3^{v} = \sum\limits_{l = 0}^{n} \binom{l}{0} 3^{0}  + \sum\limits_{l = 0}^{n} \binom{l}{1} 3^{1} + \sum\limits_{l = 0}^{n} \binom{l}{2} 3^{2} + \ldots + \sum\limits_{l = 0}^{n} \binom{l}{n} 3^{n} = \sum\limits_{l = 0}^{n} \binom{l}{0} 3^{0}  + \sum\limits_{l = 1}^{n} \binom{l}{1} 3^{1} + \sum\limits_{l = 2}^{n} \binom{l}{2} 3^{2} + \ldots + \sum\limits_{l = n}^{n} \binom{l}{n} 3^{n}  = \sum\limits_{v = 0}^{n} \sum\limits_{l = v}^{n} \binom{l}{v} 3^{v} $


Aber ab hier komme ich nicht mehr weiter bzw. mir fällt keine weitere Umformung ein. Bin für jede Hilfe dankbar.





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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-21


Hallo,

vertausche in c) die Summationsreihenfolge. Bei genauem Hinsehen erhältst du dann eine der beiden Doppelsummen, die du in den vorherigen Teilaufgaben berechnet hast.



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