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  Lagrange-Multiplikator |
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arhzz
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 18.10.2020
Mitteilungen: 149
 |  Themenstart: 2021-06-21
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Hallo!
Ein Draht der Lange L wird in drei Teile geteilt. Das erste Stuck wird zu einem Quadratgebogen, das zweite zu einem Kreis und das dritte zu einem gleichseitigen Dreieck. Auf welche Weise erhalt man durch diese Prozedur eine minimale und wie eine maximale Gesamtsamtflache? Losen Sie mittels Lagrange-Multiplikatoren.
Also zuerst habe ich probiert die Zielfunktion aufzustellen.Also da es sich um die flache von einem Quadrat einem Kreis und einem gleichseitigen Dreieck habe ich sie so aufgeschrieben
\(f(x,y,z) = a^2+r^2\pi + \frac{b^2}{4}*\sqrt3\)
Also jetzt brauche ich die Nebenbedingung aber ich weiss nicht wie ich sie aufstellen soll.Bisschen hilfe wäre toll.
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sonnenschein96
Senior 
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-21
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Hallo arhzz,
zunächst beachte, dass für die Funktion \(f\) gilt, dass \[f\colon(0,\infty)^3\to\mathbb{R}, f(x,y,z)=a(x)^2+\pi r(y)^2+\frac{\sqrt{3}}{4}b(z)^2.\]
Du musst also noch \(a,b,c\) in Abhängigkeit von \(x,y,z\) bestimmen, welche ja jeweils den Umfang beschreiben. \(a\) und \(b\) bezeichnen die Seitenlänge des Quadrates/Dreiecks und \(r\) den Radius des Kreises. Die Nebenbedingung ist natürlich \(x+y+z=L\), wobei \(L>0\) ist.
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arhzz
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 18.10.2020
Mitteilungen: 149
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-22
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Ja ich habe das mittlerweile gecheckt.Ich habe jetzt so gerechnet
\(L(x,y,z\lambda) = a^2+r^2\pi+\frac{b^2}{4}\sqrt3 +\lambda(4a+2r\pi+3b-L)\)
Jetzt nach a r b und lambda ableiten
\(L_a = 2a +4\lambda=0\)
\(L_r = 2r\pi+2\lambda\pi=0\)
\(L_b = \frac{b}{2}\sqrt3 + 3\lambda=0\)
\(L_{\lambda} = 4a +2r\pi+3b-L=0\)
Ich habe bei den ersten drei gleichungen nach lambda umgeform und dann in die letzte gleichung eingesetz und komme auf das.
\(\lambda = \frac{-L}{24,672}\)
Und das sollte auch passen (laut den Musterlosung) jetzt wollte ich mir a ausrechnen.Es sollte laut der ersten gleichung so aussehen
\(a = -2\lambda\) Und wenn ich das einsetzte sollte a so aussehen
\(a =\frac{L}{12,336}\)
Aber irgendwie kann ich ja dann nicht auf A(flache) kommen.Es sollte a hoch 2 sein aber in der lsg ist es. 0,32L.Offensichtlich komme ich auf sowas nicht wenn ich mein a kvadriere.Wo liegt mein fehler
EDIT: Also ich hab ganz schnell nachgeschaut und ich habe es falsch gelesen.Ich sollte mir halt zuerst die Umfange rechnen.Das habe ich jetzt gemacht und das passt.
Ua = 0,324L
Ur = 0,25L
Ub = 0,421L
Und jetzt sollte A = 0,020763L^2 sein. Wie kommt man auf das?
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10519
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
es ist sicherlich
\[\lambda\approx-\frac{L}{24.675}\]
und nicht umgekehrt.
Vielleicht hilft dir das ja schon weiter?
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]\(\endgroup\)
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arhzz
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 18.10.2020
Mitteilungen: 149
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-22
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Ja also da ist mir ein latex fehler passiert,habe es ausgebessert.Allerdings habe ich da ein minus und nicht etwas positives.Weil wenn ich es ohne minus ins a b und r einsetze wurde ich ja negative werte bekommen fur a b und r und dass macht kein sinn.Alleridings habe ich ja jetzt die umfange bestimmt,(wenn du mit -L/24,6272 rechnest) sollte man auf diese umfange kommen,und das passt auch.Ich weiss jetzt nicht wie ich auf die flache von 0,020736L^2 kommen soll
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10519
Wohnort: Rosenfeld, BW
|  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-22
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\newcommand{\on}{\operatorname}
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Hallo,
ja, das Minuszeichen hatte ich vergessen, das werde ich noch nachbessern.
\quoteon(2021-06-22 11:35 - arhzz in Beitrag No. 4)
Ich weiss jetzt nicht wie ich auf die flache von 0,020736L^2 kommen soll
\quoteoff
Dir ist schon klar, dass zwei Lösungen gesucht sind, ein Minimum und ein Maximum? Da wäre ja jetzt ersteinmal die Frage, welche von beiden Flächen das sein soll.
Allgemein müsstest du hier besser kommentieren, was du tust und welche Überlegungen dahinterstehen. Sonst ist das sehr schwer nachvollziehbar.
Generell kannst du jetzt mit Hilfe von \(\lambda\) zunächst den kritischen Punkt \((a,r,b)\) ausrechnen und für diesen durch Einsetzen in die ursprüngliche Zielfunktion die Fläche berechnen.
Oder um es kurz zu machen: wenn du wissen möchtest, warum du nicht auf eine Musterlösung kommst, musst du wohl oder übel deine Rechnung präsentieren.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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arhzz
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 18.10.2020
Mitteilungen: 149
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-22
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Okay ich versuche jetzt ein bisschen detailierter zu sein. Also nachdem ich lambda bestimmt habe,habe ich mir die Werte für a,r,b ausgerechnet.Dafür habe ich die vollgende gleichungen benutzt.
\(2a+4\lambda = 0\) Wenn man das jetzt nach a umstellt sollte man auf
\(a = \frac{L}{12,34}\) kommen. Dann habe ich r nach dieser gleichung bestimmt
\(2r\pi+2\lambda\pi = 0\) Also sollte r einfach -lambda sein also
\(r = \frac{L}{24,672}\)
Dann habe ich b bestimmt aus der letzten gleichung
\(b = \frac{L}{7,12}\)
Jetzt habe ich diese werte genutzt um den umfang für den Quadrat,Kreis und Dreieck (Gleichseitiges) auszurechnen.
Sollte so aussehen.
\(U_a =0,32L\)
\(U_k = 0.25L\)
\(U_b = 0,42L\)
Und jetzt weiss ich nicht wie ich weiter machen soll.Mir ist ganz ehrlich nicht mal klar warum wir die umfange rechnen mussen,ich habe diese in der lsg gesehen,aber ich verstehe nicht warum ich sie rechnen muss.Es steht das die flache die ich angegeben habe das minimum sein sollte.Aber meine Idee war das ich mir zuerst die Flache ausrechne und dannach sehe ob es ein maximum oder ein minimum ist.
Also ich wurde jetzt versuchen die flache auszurechnen,wie weiss ich nicht,aber bin mir uberhaupt nicht sicher ob das der nachste schritt sein sollte.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10519
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-22
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Hallo,
überprüfe nochmal den Wert für \(b\), der kann ja nicht gleich wie \(r\) sein.
In der Aufgabe steht klipp und klar, dass für die Fläche das Minimum und das Maximum unter der gefordeten Nebenbedingung gesucht ist. Also musst du schonmal keinen Umfang ausrechnen. Du hast doch die Variablen so gewählt, dass sie bei den beiden Polygonen für die Grundseite stehen und im Fall des Kreises für den Radius. Das kann man machen (wenngleich der anderslautende Vorschlag von sonnenschein96 vielleicht etwas übersichtlicher gewesen wäre). Jedenfalls hast du ja deine Nebenbedingung an diese Variablenwahl korrekt angepasst, also kannst du jetzt natürlich die errechneten Werte in die Zielfunktion einsetzen. Das sagt dir aber noch nicht so viel, wie du ja schon selbst festgestellt hast.
Sortieren wir einmal ein wenig. Gesucht ist hier das Minimum und das Maximum einer Funktion, und zwar nicht unter einer, sondern unter insgesamt vier Nebenbedingungen. Eine davon ist vorgegeben durch die Länge des Drahtes, die drei anderen folgen aus der naheliegenden Forderung, dass keiner der drei Abschnitte eine negative Länge haben kann.
So wie die Zielfunktion beschaffen ist, also quadratisch, braucht man kein Hellseher zu sein um vorhersagen zu können, dass es hier genau ein inneres Extremum gibt. Das schlägt sich ja auch sofort in der Tatsache nieder, dass dein gleich Null gesetzter Gradient auf ein lineares Gleichungssystem führt.
Also gilt es jetzt, zu klären, ob dieser gefundene kritische Punkt ggf. ein Minimum oder ein Maximum ist. Es wird sich dabei herausstellen, dass es sich um das gesuchte Minimum handelt. Also musst du bei der Suche nach dem Maximum von vorn herein nach einem Randmaximum suchen.
Wenn ich die Lösungen deines Gleichungssystems in die Zielfunktion \(f(a,r,b)=a^2+\pi\cdot r^2+\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot b^2\) einsetze, komme ich auf einen Wert von ca. \(A\approx 0.0203\). Ich habe aber offensichtlich genauer gerechnet als es in der Musterlösung der Fall ist, was ich schon bei meinem Wert für \(\lambda\) feststellen kann.
Dein falscher Wert für die Fläche muss aus einem Rechenfehler beim Einsetzen herrühren, da deine Lösungen für den kritischen Punkt (bis auf Ungenauigkeiten durch Rundungsfehler) richtig sind. Aber wie gesagt: der Wert für diese minimale Fläche ist hier sicherlich das kleinste Problem.
Mache dir vielleicht ersteinmal klar, was hier eigentlich von dir verlangt wird und arbeite einen geeigneten Fahrplan aus, wie du das angehen möchtest.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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arhzz
Ehemals Aktiv
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Mitteilungen: 149
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-22
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Asoo okay jetzt macht es sinn.Ja das mit Randmaximum hat unser Professor auch gesagt.Ja also dann muss ich das einsetzen nochmal machen aber die vorghensweise war mir wichtig.
Vielenk dank!
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