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Lineare Algebra » Determinanten » Basis und Determinante
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Universität/Hochschule Basis und Determinante
Pioch2000
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-21


Wir betrachten für $n \geq 4$ den Vektorraum $\mathbb R^n$ versehen mit dem Standardskalarprodukt und definieren
$D_n=\{(x_1,\dots ,x_n)^T \in \mathbb Z  |x_1+\dots +x_n \in 2\mathbb Z\}$.
a) Wieviele $v\in D_n$ mit $\langle v,v \rangle$=2 gibt es?
b) Bestimmen Sie eine Basis ($v_1, \dots , v_n$) des $\mathbb R^n$ mit $D_n=\sum\nolimits_{i=1}^n \mathbb Zv_i$ und berechnen Sie die Determinante der Matrix $(\langle v_i,v_j\rangle)_{i,j}$

a) habe ich gelöst, aber wie kann ich b) machen?



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semasch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-22


Moin Pioch2000,

es ist $\underline{x} := (x_1, \ldots, x_n)^{\text{T}} \in \mathbb{Z}^n$ ein Element von $D_n$ genau dann, wenn es ein $m \in \mathbb{Z}$ gibt mit
\[x_1 + \ldots + x_{n-1} + x_n = 2m, \, \text{also} \, x_n = 2m - (x_1 + \ldots + x_{n-1}).\] Wenn du diesen Ausdruck für $x_n$ in $\underline{x}$ einsetzt und beachtest, dass $x_1, \ldots, x_{n-1}, m \in \mathbb{Z}$ frei wählbar sind, kannst du eine mögliche Basis ablesen.

Für den zweiten Teil, definiere $V := (v_1|\ldots|v_n)$ und beachte, dass
\[(\langle v_i,v_j \rangle)_{i,j = 1, \ldots, n} = V^{\text{T}} V\] gilt.

LG,
semasch



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