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Strukturen und Algebra » Polynome » Charakterisieren eines Körpers
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Universität/Hochschule Charakterisieren eines Körpers
Max_Br
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Dabei seit: 26.04.2021
Mitteilungen: 69
  Themenstart: 2021-06-22

Hallo, Es gilt, dass K ein Körper mit f= x^2 +1 \el\ K[x] sei. Jetzt soll man den Körper charakterisieren, sodass jede Matrix M aus K^(2\cross\ 2), mit f als Minimalpolynom, diagonalisierbar ist. Mein Idee war es jetzt zunächst zugucken für welche Matrizen f das Minimalpolynom ist. Dabei kommt mir nur (i,0;0,i) in den Sinn. Das wäre ja eine diagonalsierbare Matrix mit f als Minimalpolynom. Jetzt weiß ich nicht ob das stimmt und was ich jetzt mit "charakterisieren Sie die Körper K" gemeint ist.


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Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2989
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-22

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, was soll $i$ sein? Die komplexe Zahl $i\in \IC$, ist nicht zwingend in $K$ enthalten. Und wenn $i\in K$ ist, dann ist $x^2+1$ nicht das Minimalpolynom von $\begin{pmatrix} i&0\\ 0&i\end{pmatrix}$. Kennst du den Zusammenhang zwischen Diagonalisierbarkeit und dem Minimalpolynom?\(\endgroup\)


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Max_Br
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 26.04.2021
Mitteilungen: 69
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-22

Ja, i ist die komplexe Zahl. Ich dachte, dass man guckt ob ein Polynom auch ein Minimalpolynom ist indem man in dem Polynom f für x die Matrix einsetzt und für die 1 1*Einheitsmatrix und dann muss das Ergebnis 0 sein. Ich kam dafür nur auf das Ergebnis mit meiner Matrix die ich oben genannt habe. Meine Schlussfolgerung war dann, dass es nur für diese Matrix f auch Minimalpolynom sein kann. Soweit mit meinen Überlegungen. Aber nach Ihrer Antwort her, bin ich da wohl auf dem Holzweg. Und ich kenne den Zusammenhang zwischen Diagonalisierbarkeit und Minimalpolynomen nicht. Ich weiß nur wie man Diagonalsierbarkeit kontrollieren bzw beweisen kann und das trifft ja zu zu meiner Matrix. Also Hilfe wäre Top, danke.


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Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2989
  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-22

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Wiederhole die Definition des Minimalpolynoms. Es ist zwar richtig, dass das Minimalpolynom einer Matrix $A$ ein Polynom $p$ ist, für das $p(A)$ die Nullmatrix ist, aber nicht jedes Polynom mit $p(A)=0$ ist das Minimalpolynom von $A$. Mit dem Zusammenhang zwischen Minimalpolynom und Diagonalisierbarkeit meinte ich folgenden Satz: Eine Matrix $A\in K^{n\times n}$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn ihr Minimalpolynom über $K$ in Linearfaktoren zerfällt und nur einfache Nullstellen hat. Hast du die Aufgabenstellung wörtlich wiedergegeben? P.S. Auf dem Matheplaneten duzt man sich.\(\endgroup\)


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Max_Br
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

Ja das ist ziemlich genau der Wortlaut. Danke für DEINE Nachricht :) Ich schaue mal ob ich weiter komme mit deiner Nachricht.


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