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Lineare Algebra » Eigenwerte » Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit einer Matrix
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Universität/Hochschule J Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit einer Matrix
lisa11
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Wohnort: München
  Themenstart: 2021-06-23

Hallo, (a)Ich habe die Aufgabe die Eigenwerte, sowie die dazugehörigen geometrischen Vielfachheiten zu bestimmen: A=(\delta_ij + \delta_(i+1)j )_i,j \el\ K^n,n Für "normale" Matritzen habe ich damit kein Problem, nur bei solchen Matritzen, wo man nicht direkt Werte gegeben hat, hab ich irgendwie meine Probleme. (b)Des weiteren sollten wir für die Matrix B=(3,0,0;0,2,i;0,-i,2) \el\ \IC^3,3 bestimmen ob diese diagonalisierbar ist und dann \(S\) und \(D\) bestimmen, mit: \(S^{-1}BS=D\). Hier habe ich das Problem, dass ich durch den Vergleich der geometrischen und algebraischen Vielfachheit zwar bestimmt habe, dass die Matrix diagonalisierbar ist, aber meine berechnete Matrix \(S\) nicht invertierbar ist. Habe ich irgendwo einen Rechenfehler oder doch schon vorher einen Dekfehler? Ich freue mich über jeden Tipp und jede Hilfe Gruß Lisa


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ochen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-23

Hallo, zur a) die Schreibweise bedeutet, dass in den Einträgen der Diagonalen und den Einträgen unmittelbar darunter Einsen stehen, also $\begin{bmatrix} 1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}$. Du könntest auch sagen, dass $f(e_i)=e_i+e_{i-1}$ für $1


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Diophant
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-23

Hallo, die Matrix in (a) ist doch durch ihre Einträge gegeben: und zwar mit Hilfe des sog. Kronecker-Deltas. Die Einträge sind also 0 oder 1, wie sie angeordnet sind, kann man sich über die Indizes klarmachen. Bei der (b) wirst du dich verrechnet haben. Könntest du hier deine Rechnung angeben? Gruß, Diophant [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.] [Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Eigenwerte' von Diophant]


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lisa11
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Wohnort: München
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

Hallo, Zu a) werde ich dann gleich nochmal überlegen. Zu b) Ich habe die Eigenwerte \(\lambda_1=3, \lambda_2=1\) und \(\lambda_3=3\) rausbekommen. Eigenvektoren zu \lambda_1,3 =3: (0,0,0,|0;0,-1,i,|0;0,-i,-1,|0)->III+(-i)*II->(0,0,0,|0;0,-1,i,|0;0,0,0,|0) Damit erhalte ich: -v_2+iv_3=0 -> v_2=iv_3 Es folgt: v=(v_1;iv_3;v_3)=v_1*(1;0;0)+v_3*(0;i;1) Hier stimmen damit bereits die algebraische und geometrische Vielfachheit für diesen Eigenwert überein. Eigenvektoren zu \lambda_2 =1: (2,0,0,|0;0,1,i,|0;0,-i,1,|0)->III+(i)*II->(2,0,0,|0;0,1,i,|0;0,0,0,|0) Damit erhält man: 2v_1=0 => v_1=0 v_2=iv_3 Es folgt: v=(0;iv_3;v_3)=v_3*(0;i;1) Ich habe jetzt online gelesen, dass man für die Matrix D einfach die Eigenwerte in der Diagonalen aufschreiben kann und für S die dazugehöreigen Eigenvektoren in die Spalten der Matrix. Das würde bedeuten: D=(3,0,0;0,3,0;0,0,1) und S=(1,0,0;0,i,i;0,1,1) Die Matrix S ist nun aber nicht invertierbar


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Noch ein Nachtrag: @ochen: \quoteon(2021-06-23 07:24 - ochen in Beitrag No. 1) Hallo, zur a) die Schreibweise bedeutet, dass in den Einträgen der Diagonalen und den Einträgen unmittelbar darunter Einsen stehen... \quoteoff Es sollte die Diagonale über der Hauptdiagonalen sein, da dort ja \(i+1=j\) gilt. Das sind halt so typische Fehler, die einem früh morgens gerne mal passieren... 😉 @lisa11: Deine Eigenwerte sind korrekt. Bei den Eigenvektoren ist dir aber irgendwo ein Schnitzer unterlaufen. Der Vektor \((1,0,0)^T\) passt, bei den beiden anderen ist dir an einer Stelle ein Vorzeichenfehler unterlaufen. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]\(\endgroup\)


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lisa11
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

Ah ich glaube ich habe den Fehler gefunden. Beim berechnen des Eigenvektors für\(\lambda_2=1\) habe ich ein Minus vergessen. Es müsste \(v_2=-iv_3\) heißen. Damit folgt dann: D=(3,0,0;0,3,0;0,0,1) und S=(1,0,0;0,i,-i;0,1,1) und S^(-1) =(1,0,0;0,-i/2,1/2;0,i/2,1/2) Stimmt das nun so?


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Diophant
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-06-23 11:04 - lisa11 in Beitrag No. 5) Ah ich glaube ich habe den Fehler gefunden. Beim berechnen des Eigenvektors für\(\lambda_2=1\) habe ich ein Minus vergessen. Es müsste \(v_2=-iv_3\) heißen. Damit folgt dann: D=(3,0,0;0,3,0;0,0,1) und S=(1,0,0;0,i,-i;0,1,1) und S^(-1) =(1,0,0;0,-i/2,1/2;0,i/2,1/2) Stimmt das nun so? \quoteoff Jep, jetzt passt es. 👍 Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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lisa11
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

Zu a) nochmal: Da die Matrix A ja bereits eine Dreiecksmatrix ist, ist die Determinante einfach das Produnkt der DIagonaleinträge. Es folgt also: \(P_A = det(A)=(1-\lambda)^n=0 \Rightarrow \lambda=1\) Die algebraische Vielfachheit ist dabei n. Nun muss man noch den Eigenvektor berechnen, für die geometrische Vielfachheit. (0,1,0,0,...,0,|0;0,0,1,0,...,0,|0;0,0,0,1,...,0,|0;., , , ,,,|0;.,,,,,,|0;.,0,0,0,...,0,|0) Damit folgt die Gleichung: v_i=0, für i>=2 Es folgt also: v=(v_1;0;0;0;0;0;...)=v_1*(1;0;0;0;0;0;...) Die geometrische Vielfachheit ist also 1 und da sie ungleich der alebraischen Vielfachheit ist, ist somit A auch nicht diagonalisierbar. Stimmt das so?


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Diophant
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-23

Hallo, ja, passt alles. 👍 Gruß, Diophant


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lisa11
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

Super, danke für die Hilfe😄


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