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Ingenieurwesen » Signale und Systeme » Faltungsintegral g(t + τ)
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Universität/Hochschule J Faltungsintegral g(t + τ)
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-23


Wenn $$g(t + \tau) = s(t + \tau) * h(t + \tau)$$ sähe das Faltungsintegral wie folgt aus:  

$$\int_{-\infty}^{+\infty} s(\eta + \tau) \cdot h(t + \tau - \eta) \cdot d\eta \quad \text{(1)}$$
Wenn ich jetzt $$\theta = t + \tau - \eta \quad \text{(2)} $$ substituiere, komme ich dann auf folgendes:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} s(t + 2\tau - \theta) \cdot h(\theta) \cdot d\theta \quad \text{(3)}$$
rauskommen soll jedoch:
$$\int_{-\infty}^{+\infty} s(t - \theta + \tau) \cdot h(\theta)\cdot d\theta \quad \text{(4)}$$
Meine Frage: Ich gehe mal davon aus, dass ich an der Stelle $$\text{(1)}$$ einen Fehler gemacht habe, jedoch komme ich da nicht ganz hinter.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-23


2021-06-23 05:00 - Sinnfrei im Themenstart schreibt:
Wenn $g(t + \tau) = s(t + \tau) * h(t + \tau)$

Du musst dir erstmal überlegen, was diese Gleichung eigentlich bedeuten soll, denn man faltet ja Funktionen wie $s$ und $h$ und nicht Funktionswerte wie $s(t+\tau)$ und $h(t+\tau)$.

Meine Vermutung ist, dass man $s$ und $h$ faltet und sich dann für den Funktionwert der Faltung $g=s*h$ and der Stelle $t+\tau$ interessiert:$$\begin{align*}
g(t)=(s*h)(t)&=\int_{-\infty}^\infty s(t-\theta)\,h(\theta)
\;\mathrm d\theta \\[2ex]
g(t+\tau)=(s*h)(t+\tau)&=\int_{-\infty}^\infty s(t+\tau-\theta)\,h(\theta)
\;\mathrm d\theta
\end{align*}$$--zippy



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23


Könnte ich dann auch sagen das die Impulsantwort h gespiegelt und verschoben wird, also wie folgt:

$$g(t + \tau) = (s * h)(t + \tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} s(\theta) \cdot h(t + \tau - \theta) d\theta$$ Wäre das dann so auch zulässig?

Leider habe ich solche, längere Argumente, in der Antwort, bisher in keiner Literatur finden können.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-23


2021-06-23 15:39 - Sinnfrei in Beitrag No. 2 schreibt:
Leider habe ich solche, längere Argumente, in der Antwort, bisher in keiner Literatur finden können.

Das ist doch eine direkte Folge der Kommutativität der Faltung,$$ \int_{-\infty}^\infty s(t-\theta)\,h(\theta)\;\mathrm d\theta =
\int_{-\infty}^\infty s(\theta)\,h(t-\theta)\;\mathrm d\theta \;.$$



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-24


Ich habe soeben mit dem Prof. darüber geredet und er meinte, dass
$$g(t + \tau) = s(t + \tau) * h(t + \tau)$$ nicht zulässig wäre, da wohl nur das Eingangssignal eine Verschiebung erfahren darf. Demzufolge ist auch folgende Schreibweise zulässig:
$$g(t + \tau) = s(t + \tau) * h(t)$$ Mein Problem an der Stelle ist jetzt, dass man doch eigentlich mittels Kommutativgesetz der Faltung die Argumente tauschen kann oder? Somit dürfte auch
$$g(t + \tau) = h(t + \tau) * s(t)$$ zulässig sein



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-24


Du hast leider immer noch nicht erklärt, was diese Gleichungen eigentlich bedeuten sollen. Dass man sie nicht wörtlich nehmen kann, hatte ich ja schon geschrieben:

2021-06-23 07:16 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
Du musst dir erstmal überlegen, was diese Gleichung eigentlich bedeuten soll, denn man faltet ja Funktionen wie $s$ und $h$ und nicht Funktionswerte wie $s(t+\tau)$ und $h(t+\tau)$.

Ich vermute mal, dass deine Gleichungen so gemeint sind, dass Funktionwerte wie $f(t)$ und $f(t+a)$ mit den Funktionen $f$ bzw. $t\mapsto f(t+a)$ identifiziert werden.

Wenn wir den Verschiebeoperator $T_\tau$ durch $(T_\tau f)(t)=f(t+\tau)$ definieren, gilt$$ \bigl[T_\tau(s*h)\bigr](t) =
\int_{-\infty}^\infty s(t+\tau-\theta)\,h(\theta)\;\mathrm d\theta =
\bigl[T_\tau(s)*h\bigr](t)
$$und das bedeutet $T_\tau(s*h)=T_\tau(s)*h$. Wegen der Kommutativität der Faltung gilt somit auch $T_\tau(s*h)=s*T_\tau(h)$.

Die Unterscheidung zwischen "zulässig" und "nicht zulässig" in Beitrag Nr. 4 ist dann einfach die Aussage: Wenn $g=s*h$, dann ist $T_\tau g=T_\tau(s)*h=s*T_\tau(h)$, aber $T_\tau g\ne T_\tau(s)*T_\tau(h)$.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-24


Also deinen gesamten Kommentar verstehe ich absolut nicht. Ist mir zuviel $$T_r$$
Ich bin davon ausgegangen das mit $$g(t + \tau)$$ bereits klar ist, dass damit das Ausgangsignal eines LTI-Systems gemeint ist. Also in fast jeder Literatur findet man das so.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-24


Mein Dozent hat es relativ einfach erklärt. Wenn man ein Eingangssignal in ein LTI-System packt, dann kann die Impulsantwort nicht invariant werden. Hat einen physikalischen Hintergrund. Deine Herleitung ist demnach nur eine weitere alternative Schreibweise für die Faltung mit einem verzögerten Eingangssignal.
Mit der Kommutativität, muss es dann $$h(t) * s(t + \tau)$$ sein und nicht $$h(t + \tau) * s(\tau)$$ und genau an die Zeitinvarianz habe ich gar nicht gedacht. Ich bin da auch relativ mathematisch rangegangen und hab mich da auch schnell vertan.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-24


2021-06-24 19:22 - Sinnfrei in Beitrag No. 6 schreibt:
Also in fast jeder Literatur findet man das so.

Wenn man weiß, was man tut, kann man sich eine laxe Nomenklatur erlauben. Aber du stellst dir damit im Augenblick selbst ein Bein.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-24


Wie meinst du das?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-06-28


2021-06-24 21:17 - Sinnfrei in Beitrag No. 9 schreibt:
Wie meinst du das?

Ich meine damit, dass es sich lohnt, Aufwand in eine saubere Schreibweise zu investieren, solange die übliche, aber laxe Schreibweise (in der die Grenze zwischen Funktionen und ihren Werten verschwimmt) für Unklarheit sorgt.

Auch in diesem Thread ist diese Unklarheit wieder Teil des Problems.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-29


Ich finde man sollte in seiner Ausführung, der Erklärung zumindest konsequent sein und eine Notation wählen, die eben nicht dafür sorgt, dass noch mehr Fragen als Antworten entstehen, wenn der Verlauf jetzt ein etwas längerer wird. Ob ich an erster Stelle mehr Aufwand für eine saubere Schreibweise betreibe oder eben nicht, spielt da glaube ich, gar nicht mal so die oberste Rolle.

Wenn man aber in der Ausführung, der Notationen hin- und her springt, wird es für mich unübersichtlich. In diesem Beitrag war das jetzt so, dass ich die Möglichkeit hatte, mit dem jeweiligen Prof. zu reden sodass sich der Rest für mich erübrigt hat.

Deine Ausführung in Beitrag 5 verstehe ich so, mit den Abbildungssymbolen auch nicht, da ich auch mit Literaturen in Systemtheorie arbeite, die das nicht inne haben. Sowas verwirrt dann noch mehr. Deswegen ist meine Bitte, dass so physikalisch wie möglich zu betrachten und nicht mathematisch, da auch einiges aus der höheren Mathematik abverlangt wird, die ich so noch nicht hatte. Aus dem Grund stelle ich diese Fragen auch nicht in ein Mathe Forum, sondern in ein Physik bzw. Ingenieurwesen-Forum



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