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| Autor |
  Ableitungen in hoeheren Raumdimensionen |
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labelleamellie
Neu 
Dabei seit: 27.06.2021
Mitteilungen: 1
 |  Themenstart: 2021-06-27
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Hey, ich habe bei folgender Aufgabe Schwierigkeiten. Richtungsvektor und Richtungsableitung ist gegeben aber wie soll man den Gradienten hier berechnen? Ich möchte keine Verrechnung nur Lösungsansätze.
Eine unbekannte Funktion habe an einem ebenso unbekannten Punkt in Richtung des Vektors v =(3/5, 4/5)^t die Richtungsableitung uv = 5 und in Richtung w =(3/5, -4/5)^t die Richtungsableitung g uw = 2. Wie lauten die partiellen Ableitungen der Funktion in diesem Punkt?
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 Profil
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Vercassivelaunos
Senior 
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1267
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-27
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
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\newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)}
\newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)}
\newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}
\newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>}
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\newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>}
\newcommand{\lvert}{\left\vert}
\newcommand{\rvert}{\right\vert}
\newcommand{\lVert}{\left\Vert}
\newcommand{\rVert}{\right\Vert}
\newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\)
Hallo labelleamellie,
wenn die Funktion nicht differenzierbar ist, kannst du gar nichts aussagen.
Wenn sie aber differenzierbar ist, kannst du ausnutzen, dass die Richtungsableitungen linear von der Richtung abhängen. Wenn du also die Einheitsvektoren in Koordinatenrichtung als Linearkombination von $v$ und $w$ ausdrücken kannst, dann kannst du die Richtungsableitung in dieser Richtung als die entsprechende Linearkombination der Richtungsableitungen in Richtung $v$ und $w$ ausdrücken.
Viele Grüße
Vercassivelaunos\(\endgroup\)
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2080
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-27
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Hallo und willkommen auf dem Matheplaneten :)
Um mich meinem Vorredner anzuschließen:
Ist $U\subseteq \mathbb R^n$ offen und $f\colon U\to \mathbb R$ differenzierbar, so gibt es für festes $x\in U$ eine lineare Abbildung $Df(x)\colon \mathbb R^n\to \mathbb R$ (genannt das Differential von $f$ in $x$) derart, dass für alle $h$ nahe $x$
$$
f(x+h)=f(x)+Df(x)(h)+o(\lVert h\rVert) \tag1
$$
gilt. Wie für jede Linearform eines endlich-dimensionalen Vektorraums, gibt es auch für $Df(x)$ einen eindeutig bestimmten Vektor $p_x\in \mathbb R^n$ derart, dass für alle $v\in \mathbb R^n$
$$
Df(x)(v)=\langle p_x,v\rangle
$$
gilt. Diesen Vektor $p_x$ nennt man auch den Gradienten von $f$ in $x$ und schreibt $p_x=\operatorname{grad}(f)(x)$.
Ist nun $v\in \mathbb R^n$ mit $\lVert v\rVert=1$ und setzt man $h=tv$ in (1), so erhält man weiter, dass
$$
f(x+tv)-f(x)=t\cdot Df(x)(v)+o(|t|)
$$
und damit
$$
\frac{f(x+tv)-f(x)}{t}=Df(x)(v)+\frac{o(|t|)}{t}.
$$
Daher erhalten wir für die Richtungsableitung von $f$ im Punkt $x$ in Richtung $v$
$$
D_vf(x)=\lim_{t\to 0}\frac{f(x+tv)-f(x)}{t}=Df(x)(v).
$$
Das sollte dir einen Überblick über den Zusammenhang der Begriffe verschaffen.
LG Nico
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labelleamellie hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
labelleamellie hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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