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Lineare Algebra » Vektorräume » Zyklische Unterräume
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Universität/Hochschule Zyklische Unterräume
Max_Br
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  Themenstart: 2021-06-29

Hallo, Ich verstehe nicht wie man da vorgeht. Ich soll einen Vektor v\el\ V bestimmen, sodass U_v ein von v erzeugter maximaler f-zyklischer Teilraum von V ist. Erklärungen die zur Lösung führen oder Lösungsansätze wären super und würden mir sehr helfen. Danke schonmal


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Nuramon
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-29

Hallo, bitte gib die genaue Aufgabenstellung wieder. Im Kontext der Aufgabe ist das nämlich vermutlich einfacher zu lösen als im Allgemeinen.


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Max_Br
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-29

\ Betrachten Sie den Z3-Vektorraum V = Z^6_3 mit der Standardbasis B. Seien lineare Abbildungen f, g : V → V gegeben durch die Darstellungsmatrizen D_B,B (f) = (1, 1, 2, 2, 2, 2;1, 1, 1, 1, 1, 2; 2, 0, 1, 1, 2, 2; 1, 0, 2, 0, 2, 1; 0, 1, 2, 2, 2, 1; 2, 1, 0, 2, 0, 1) Bestimmen Sie einen Vektor v ∈ V , sodass \ U_v ein von v erzeugter maximaler f-zyklischer Teilraum von V ist. Geben Sie eine Basis von \ U_v an Das ist der genaue Wortlaut. Ich habe zuvor noch f- invariante Unterräume bestimmt. Indem ich alle Eigenräume bestimmt habe.


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Nuramon
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-30

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Ehrlich gesagt finde ich die Formulierung etwas seltsam. Es wäre hilfreich, wenn du verrätst, wie ihr $U_v$ definiert habt. Formulierung und Ergebnisse vorheriger Teilaufgaben wären auch nicht schlecht. Z.B. wäre es ganz praktisch wenn du charakteristisches Polynom und Minimalpolynom der Matrix kennst. Falls es darum geht einen maximalen $f$-zyklischen Unterrraum von $V$ zu bestimmen und für diesen einen Erzeuger $v$ anzugeben: $V$ ist hier $f$-zyklisch und man kann $v=e_1$ wählen.\(\endgroup\)


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Max_Br
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-30

U_v=< v, f(v),..., f^(k-1) (v)> U_v ist der von Vektor v erzeugte f-zyklische Unterraum Zuvor habe ich f-invariante Teilräume bestimmen sollen und habe dafür über das charakterischtische Polynom Eigenräume bestimmt, in der Hoffnung, dass das der richtige Ansatz bzw das richtige Ergebnis ist.


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Nuramon
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-30

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Es gilt: Ein endlichdimensionaler Unterraum $U$ von $V$ ist $f$-zyklisch, genau dann, wenn das Minimalpolynom von $f\mid_U$ und das charakteristische Polynom von $f\mid_U$ übereinstimmen. Wie man einen Erzeuger $v$ eines $f$-zyklischen Unterraums $U$ systematisch finden kann, weiß ich im Moment leider nicht. Aber wenn man einfach zufällig einen Vektor $v\in U$ wählt, dürfte das mit recht hoher Wahrscheinlichkeit ein solcher Erzeuger sein.\(\endgroup\)


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