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Universität/Hochschule Numerischer Näherungswert für Partialsumme
MasterWizz
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  Themenstart: 2021-06-29

Hey Leute, gesucht ist für das Integral \(I=\int\limits_0^1\!\cos(t^2)\,\mathrm{d}t\) ein numerischer Näherungswert \(S\) in Form einer endlichen Summe, sodass \(|I-S|<10^{-3}\) erfüllt ist. Meine Idee war jetzt die Aufgabe zu lösen über die Gliedweise Integration der Potenzreihendarstellung des Integranden, also \[I=\int\limits_0^1\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}t^{4n}\,\mathrm{d}t = \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{(2n)!}\dfrac{1}{4n+1}.\] Das gesuchte \(S\) könnte dann einfach die \(m-\)te Partialsumme sein, also \[S_m=\sum\limits_{n=0}^m\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}\dfrac{1}{4n+1},\] wobei nur noch ein hinreichend großes \(m\) gewählt werden muss, bis die Differenz \(|I-S_m|=\left|\sum\limits_{n=m+1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{(2n)!}\dfrac{1}{4n+1}\right|\) kleiner ist als \(10^{-3}\). Allerdings komme ich hier nicht weiter. Wie würdet ihr denn das kleinste \(m\) bestimmen, bei dem die Bedingung erfüllt ist, bzw. wie lässt sich hier allgemein ein \(m\) bestimmen, sodass die Abweichung kleiner ist als ein \(\varepsilon>0\)?


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-29

Erinnere dich an das Leibniz-Kriterium. --zippy


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MasterWizz
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 66
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-29

Ok wow das ist krass hahaha. Ehrlich gesagt wusste ich das bis eben nicht einmal! Ich schau mir jetzt den Beweis noch genauer an. Vielen lieben Dank mal wieder für deine Hilfe! :)


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