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Universität/Hochschule J Beweis zu Eigenschaften eines Polynoms
Munki01
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  Themenstart: 2021-07-01

Hallo, ich habe diese Aufgabe in einer Altklausur gefunden und komme damit nicht wirklich weiter bzw bin mir nicht sicher, welche Eigenschaften ich nutzen kann bzw soll, um auf dem Beweis zu kommen. Hier die Aufgabe: Sei K ein Körper, n>=1 und A,B\el\ Mat(nxn,K). Zeigen Sie: Für jedes Polynom p\el\ K[X] gilt A*p(BA)=p(AB)*A Kann natürlich auch sein, dass ich etwas offensichtliches übersehe.. Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt. Grüße


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ochen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-01

Hallo, überlege dir, warum es genügt die Aussage für Monome zu zeigen. Für $p=X^5$ gilt \[ A(BA)^5=A(BA)(BA)(BA)(BA)(BA)=(AB)(AB)(AB)(AB)(AB)A=(AB)^5A \]


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Munki01
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-01

\quoteon überlege dir, warum es genügt die Aussage für Monome zu zeigen. \quoteoff Vielleicht weil man jedes Polynom als Verkettung von Monomen auffassen kann und dann somit bei jedem Teil dieser Verkettung den "Trick" mit den Klammern anwenden kann?


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ochen
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-01

Verkettung ist vielleicht nicht ganz der richtige Ausdruck. Es liegt vor allem daran, dass für zwei beliebige Polynome $p,q\in K[X]$ und beliebiges $\lambda\in K$ aus \[ Ap(BA)=p(AB)A\quad\text{und}\quad Aq(BA)=q(AB)A \] bereits \[ A(p(BA)+\lambda q(BA))=(p(AB)+\lambda q(AB))A\] folgt. Warum?


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Munki01
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-02

\quoteon Warum? \quoteoff Polynome sind stetig also müsste diese Linearität (Multiplikation mit einem Skalar und Addition) schon aus der obigen Implikation folgen. Könnte man hier nicht auch mit dem Fundamentalsatz der Algebra argumentieren? Aus diesem lässt sich ja auch folgern, dass jedes Polynom vom Grade größer gleich 1 als Produkt von Monomen und Polynomen 2 Grades aufgefasst werden kann, die wiederum als Produkt von Monomen aufgefasst werden können. (Mit den jeweiligen Nullstellen)


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