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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Darstellende Matrix für Abbildung die Polynom seine Ableitung zuordnet
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Universität/Hochschule J Darstellende Matrix für Abbildung die Polynom seine Ableitung zuordnet
Schutze
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  Themenstart: 2021-07-10

Hi Leute, ich lerne aktuell für meine anstehende L.A. II Klausur und habe eine Frage zu folgender Aufgabe: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53673_z.png Die Linearität zu zeigen war jetzt nicht so das Problem (glaube ich zumindest, deshalb poste ich meine Lösung dazu auch mal vorsichtshalber) \( Seien f,g \in U_n mit\\ f = \sum_{i=0}^n a_iX^{i-1}\\ g = \sum_{i=0}^n b_iX^{i-1}\\ \varphi(\beta f+g) = \sum_{i=0}^n i(\beta a_i+b_i)X^{i-1}\\ = \sum_{i=0}^n (i\beta a_i+ib_i)X^{i-1}\\ = \sum_{i=0}^n i\beta a_iX^{i-1}+ib_iX^{i-1}\\ = \sum_{i=0}^n i\beta a_iX^{i-1}+\sum_{i=0}^n ib_iX^{i-1}\\ = \beta\sum_{i=0}^n ia_iX^{i-1}+\sum_{i=0}^n ib_iX^{i-1}\\ = \beta \varphi(f) +\varphi(g) \) Beim Rest der Aufgabe bin ich mir nicht so ganz sicher, deswegen hier mein Lösungsansatz. \ Bei der Basiswahl von U_n macht es ja mit Sicherheit Sinn, die Standardbasis zu wählen. Also B = (1,X,X^2,..,X^n) Damit komme ich auf die darstellende Matrix M_BB (\phi) = (0,0,0,0,...,0;0,1,0,0,...,0;0,0,2,0,...,0;0,0,0,3,...,0;...,...,...,...,...,...;0,0,0,0,...,n) P_\phi = (-X)(1-X)(2-X)....(n-X) \phi zerfällt also offensichtlich vollständig in Linearfaktoren und alle Eigenwerte von \phi sind paarweise verschieden. Daraus folgt, dass \phi diagonalisierbar ist. Sei J die Jordansche Normalform und D die Diagonalmatrix zu M_BB (\phi), dann gilt M_BB (\phi) = D = J Ich würde mich freuen, wenn mir jemand sagen kann, ob das soweit passt, oder ob ich da irgendwo völlig falsch liege. Viele Grüße


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ochen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-10

Hallo, die Linearität stimmt :) So wie du die darstellende Matrix aufgeschrieben hast, wird $X$ auf $X$ und $X^2$ auf $2X^2$ abgebildet. Die Diagonale muss also ein bisschen verschoben werden.


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Schutze
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-10

Hallo Ochen, Danke für deine Antwort. Ja du hast recht, jetzt sehe ich es auch. Dann müsste die darstellende Matrix hier eine n+1xn Matrix sein oder nicht? Demnach ist es keine quadratische Matrix. Somit macht es auch keinen Sinn davon zu sprechen, dass phi in Linearfaktoren zerfällt, oder dass es eine Jordansche Normalform zu phi gibt (soweit ich weiß kann man das charakteristische Polynom ja nur für quadratische Matrizen bestimmen) Hoffe ich rede mich jetzt nicht um Kopf und Kragen.


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ochen
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-10

Doch, es ist eine $(n+1)\times (n+1)$-Matrix. Nur wird eben 1 auf 0 abgebildet. Die Einträge der ersten Spalte sind also alle Null.


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Schutze
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-10

Danke, jetzt hat es klick gemacht. Ich hab mich bei der letzten Zeile in meinem Aufschrieb für die darstellende Matrix vertan und dann passte es alles nicht und ich habe munter drauf los gebastelt. Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht. Die Diagonaleinträge meiner Matrix müssten alle um eine Zeile nach oben verschoben werden, sodass die letzte Zeile eine Nullzeile ist. Dann ist das charakteristische Polynom (-x)^n+1 und der einzige Eigenwert ist 0 mit algebraischer Vielfachheit n+1. Der Eigenraum zum EW 0 hat Dimension 1 und somit besteht die Jordansche Normalform aus einem Block und ist quasi die Einheitsmatrix mit einer um eine Zeile nach oben (oder unten) verschobenen Diagonale. Jetzt sollte es aber passen. Danke nochmal für den Denkanstoß.


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ochen
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-10

Das sieht gut aus :)


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Schutze hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Schutze hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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