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Universität/Hochschule Fourier-Reihe: Division durch Null
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  Themenstart: 2021-07-13

Eher eine Frage rechnerische Natur. Formell wird die komplexe Fourier-Reihe ja oft gegeben als: $\displaystyle{f(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}c_n\,e^{i\,n\,x}}$, wobei $c_n = \dfrac{1}{2\,\pi} \displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,e^{-i\,n\,x}}$ (natürlich für $2\,\pi$ periodische Funktionen) Eine Sache habe ich dabei aber nicht verstanden: Wenn ich mir jetzt zum Beispiel einfach mal folgende $c_n$ rausgreife: $c_n = \dfrac{(-1)^n-1}{\pi\,n^2}\quad$ (Das sollte diejenigen für $f(x) = |x|$ sein) Unheilvolles passiert: Setzt man $n$ gleich $0$, geht der Koeffizient gegen $-\infty$ Stammen tut das vermutlich daher, dass man das Integral für $n \neq 0$ soweit vereinfacht hat, bis dieser unscheinbare Term rauskam. Fraglich ist, wie man die Koeffizienten dann für die Reihe aufschreibt: Alle Singularitäten vorher im Integral einsetzten und dann lösen? Dann müsste man die Reihe aber unschön spalten, da für $n = 0$ vorher eingesetzt $c_n = \dfrac{\pi}{2}$ und somit doch $f(x) = \displaystyle{\sum_{n = -\infty}^{-1}\dfrac{(-1)^n-1}{\pi\,n^2}\,e^{i\,n\,x}+\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n-1}{\pi\,n^2}\,e^{i\,n\,x}}+\dfrac{\pi}{2}$. Klar könnte man in die trigonometrische Fourierreihe wechseln, die ja aus diesen Unterteilungen besteht, aber wundern tut mich, dass bei der komplexen nie davon die Rede ist. Im Gegenteil: alles sei schön unter einem Hut zu bringen. Deswegen: Wie geht man mit diesem $c_0$-Term Hand in Hand? $\textbf{Edit:}$ Ich meine, der Term für $c_n$ resultiert ja aus der Vereinfachung von $c_n = -\dfrac{\cos(n\,\pi)-1}{\pi\,n^2}+\dfrac{\sin(n\,\pi)}{n}\quad$ (Annahme, dass $\sin(n\,\pi) = 0$) Lässt man den Term hingegen so stehen, dann schließt er auch $n = 0$ ein, da $\displaystyle{\lim_{n\to 0}c_n = \dfrac{\pi}{2}}$ Aber wird das wirklich so gemacht?


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