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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Darstellende Matrix über Dachprodukt
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Universität/Hochschule J Darstellende Matrix über Dachprodukt
Matheistnice
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  Themenstart: 2021-07-15

Ich komme bei folgender Aufgabe leider nicht weiter. "Bestimme die darstellende Matrix M_BB (phi) der linearen Abbildung phi := p_A ∧ p_A : IR3 ∧ IR3 -> IR3 ∧ IR3 bezüglich der Basis J = (e_1 ∧ e_2 , e_1 ∧ e_3 , e_2 ∧ e_3) mit der Matrix A: A= ( 1 0 -1 , 0 2 1 , -1 0 2) ∧:= Dachprodukt Hoffe, dass mir jemand helfen kann. Danke!


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-15

Hallo Matheistnice, Weißt du, wie man im Allgemeinen die darstellende Matrix einer linearen Abbildung bezüglich einer Basis findet? Das funktioniert hier nämlich von der Grundidee her kein bisschen anders als sonst. Sprich: Der erste Ansatz sollte erstmal gar nicht davon abhängen, dass du es hier mit Dachprodukten zu tun hast. Viele Grüße Vercassivelaunos


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Matheistnice
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-15

Danke für die Antwort. Das bestimmen von darstellenden Matrizen kann ich. Es wäre hier sogar noch einfacher, weil ich nur die Standardbasis habe. Das Problem ist, dass ich mich überhaupt nicht in diesem Dachprodukt zu bewegen weiß.


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\) Dann solltest du erstmal damit anfangen, mit den Definitionen rumzuspielen: Wie ist denn $p_A\wedge p_A$ definiert? Wie sieht das Bild eines Vektors $v\wedge w$ unter dieser Abbildung per Definition aus?\(\endgroup\)


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Matheistnice
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-15

Meine Idee wäre es gewesen, zuerst p_A ∧ p_A auszuwerten und dann daran die Einheitsvektoren dran zu multiplizieren, dann wäre ich fertig und die Spalten davon würden die darstellende Matrix sein. Ich fürchte aber, dass das hier zu einfach wäre.


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\) Ich weiß nicht, was du mit "auswerten" meinst, oder damit, Einheitsvektoren irgendwo dranzumultiplizieren. Ganz grundsätzlich bestimmt man die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung $\varphi$ bezüglich einer Basis $\{b_1,\dots,b_n\}$, indem man $\varphi(b_1),\dots,\varphi(b_n)$ bestimmt, und jeweils als Linearkombination der Basisvektoren ausdrückt. Wenn beispielsweise $\varphi(b_1)=c_1 b_1+\dots+c_n b_n$, dann ist die erste Spalte der darstellenden Matrix $\begin{pmatrix}c_1\\ \vdots\\ c_n\end{pmatrix}$. Genau dasselbe ist hier auch zu tun.\(\endgroup\)


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Matheistnice
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-16

Aber dann muss ich doch irgendwie p_A ∧ p_A "ausrechnen" oder? Das ist meine Abbildung. Wie soll ich sonst die Bilder bestimmen?


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-07-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\) Konkret ausrechnen musst du nur, worauf $p_A\wedge p_A$ die Basisvektoren abbildet. Also die drei Vektoren $(p_A\wedge p_A)(e_1\wedge e_2),~~(p_A\wedge p_A)(e_1\wedge e_3),~~(p_A\wedge p_A)(e_2\wedge e_3)$. Deswegen ja meine Einstiegsfrage: Wie ist denn $(p_A\wedge p_A)(v\wedge w)$ für beliebige Vektoren $v$ und $w$ definiert?\(\endgroup\)


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Matheistnice
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-16

Ich verstehe leider die Frage nicht. Muss ich aufschreiben, wie bei uns das Dachprodukt definiert wurde?


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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-07-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\) Naja, wenn du berechnen willst, was herauskommt, wenn man $p_A\wedge p_A$ auf $e_1\wedge e_2$ anwendet, dann brauchst du schon irgendwelche Informationen darüber, was $p_A\wedge p_A$ überhaupt macht. Diese Information wird von der Definition geliefert. Also ja, du solltest zumindest nachschauen, wie bei euch das Dachprodukt von linearen Abbildungen definiert wurde. Bzw. kann ich dir die Definition auch einfach liefern, macht ja keinen Unterschied, ob du es hier oder im Skript liest: $(p_A\wedge p_A)$ bildet $v\wedge w$ auf $p_A(v)\wedge p_A(w)$ ab. Worauf wird dann entsprechend $e_1\wedge e_2$ abgebildet? (Und worauf die anderen beiden Basisvektoren)?\(\endgroup\)


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Matheistnice
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-16

Wäre das dann (1 0 -1) dach (0 2 0)?


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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-07-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\) Genau. Aber eine etwas nützlichere Art es aufzuschreiben wäre $(e_1-e_3)\wedge(2e_2)$. Den Ausdruck kann man nämlich leichter mit Hilfe der Rechenregeln für Dachprodukte manipulieren (finde ich).\(\endgroup\)


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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-16

Also habe ich : (1 0 -1) dach ( 0 2 0) (1 0 -1) dach ( -1 1 2) (0 2 0) dach (-1 1 2) Was muss ich noch machen?


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  Beitrag No.13, eingetragen 2021-07-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\) Das selbe, was man immer macht, wenn man Darstellungsmatrizen bestimmen will: diese Vektoren durch die angegebenen Basisvektoren $e_1\wedge e_2,~e_1\wedge e_3,~e_2\wedge e_3$ ausdrücken. Dazu ist es wie gesagt nützlich, auch schon deine ganzen Spaltenvektoren durch die Basisvektoren $e_1,e_2,e_3$ auszudrücken.\(\endgroup\)


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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-19

Ich muss leider nochmal um Hilfe bitten, da ich es nicht hinbekomme die Koordinatenvektoren, der Bilder der Basisvektoren zu ermitteln. Ich habe jetzt für den ersten 2e_1 dach e_2 + 2e_2 dach e_3. Wie bekomme ich die erste Spalte meiner Matrix?


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.15, eingetragen 2021-07-19

Der Koeffizient des ersten Basisvektors ist 2, also ist die erste Komponente eine 2. Der zweite Basisvektor taucht nicht auf, die zweite Komponente ist also 0. Und der letzte Basisvektor hat den Koeffizienten 2, die letzte Komponente ist also wieder 2.


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Matheistnice
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-19

Ich habe jetzt einen anderen Weg probiert. Meine Matrix: M = ( 2 -2 1 0 0 3 2 4 1)


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.17, eingetragen 2021-07-19

Was war denn dein anderer Weg?


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Matheistnice
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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-19

Ich habe einfach (a b c) dach ( d g h) allgemein ausgerechnet und dann meine Vektoren eingesetzt und mich natürlich wieder verrechnet...


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