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Mechanik » Theoretische Mechanik » Drehimpulserhaltung System Erde-Sonne
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Universität/Hochschule Drehimpulserhaltung System Erde-Sonne
weserskipper
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 12.10.2020
Mitteilungen: 3
  Themenstart: 2021-07-20

Ich habe Verständnisprobleme mit einer kleinen "Übungsfrage" zur Drehimpulserhaltung beim System Sonne-Erde. Liegt der Bezugspunkt in der Sonne, ist alles klar: Die Gravitationskraft \(\vec{F}_G\) liegt parallel zum Verbindungsvektor \(\vec{r}\) Sonne-Erde. Das Drehmoment \(\vec{M}=\vec{r} \times \vec{F}_G\) ist damit 0. Wegen \(\vec{M} = \frac{d\vec{L}}{dt}=0\) folgt sofort die Erhaltung des Drehimpulses \(\vec{L}\). Jetzt zur Übungsfrage, die da lautet: "Zeigen Sie, dass die Erhaltung des Drehimpulses für das System Erde-Sonne auch dann gilt, wenn der Bezugspunkt nicht mit der Sonne zusammenfällt." Ich lege den Bezugspunkt bzw. den Ursprung des Koordinatensystems also außerhalb der Sonne fest. \(\vec{r}_S\) sei der Ortsvektor der Sonne, \(\vec{r}_E\) der Ortsvektor zur Erde, \(\vec{r}\) der Verbindungsvektor zwischen Erde und Sonne, \(\vec{v}\) die Geschwindigkeit der Erde in diesem Koordinatensystem, \(\vec{r}_E = \vec{r}_S + \vec{r}\), m sei die Erdmasse. Für den Drehimpuls gilt damit: \[\vec{L}= m \left[ \vec{r}_E \times \vec{v}\right] \] \[\vec{L}= m \left[ ( \vec{r}_S + \vec{r}) \times \vec{v}\right] \] \[\vec{L}= m \left[ \vec{r}_S \times \vec{v} + \vec{r} \times \vec{v}\right] \] \[\frac{d\vec{L}}{dt}= m \left[ \frac{d}{dt}(\vec{r}_S \times \vec{v}) + \frac{d}{dt} (\vec{r} \times \vec{v}) \right]\] Aus der Produktregel folgt: \[\frac{d\vec{L}}{dt}= m \left[ \frac{d\vec{r}_S}{dt} \times \vec{v} + \vec{r}_S \times \frac{d\vec{v}}{dt} + \frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{v} + \vec{r} \times \frac{d\vec{v}}{dt} \right]\] Da die Sonne fest steht, gilt \(\frac{d\vec{r}_S}{dt} = 0\). Der erste Summand in der Klammer fällt weg. \( \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d\vec{r}_E}{dt} = \vec{v} \), der dritte Summand fällt ebenfalls weg. \( \frac{d\vec{v}}{dt}\) ist die Zentripetalbeschleunigung und zeigt in Richtung \(\vec{r}\). Der letzte Summand fällt damit auch weg. Leider bleibt aber ein Summand übrig: \(\vec{r}_S \times \frac{d\vec{v}}{dt} \), die Änderung des Drehimpulses ist damit ungleich 0. Wo liegt mein Denk/Rechenfehler? Danke!


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weserskipper
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 12.10.2020
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-20

Ich glaub', ich habs :-) Man muss fordern, dass sich Sonne und Erde um einen gemeinsamen Schwerpunkt drehen, und dass dieser Schwerpunkt ortsfest ist. Der Gesamtdrehimpuls beider Himmelskörper ist \[\vec{L} = m_E (\vec{r}_E \times \vec{v}_E) + m_S (\vec{r}_S \times \vec{v}_S)\] Berücksichtigt man, dass der Schwerpunkt auf der Verbindungslinie Sonne-Erde liegt und diese im Verhältnis der Massen teilt, folgt nach einer länglichen Rechnung (die ich hier nicht TeX-en will) tatsächlich die Erhaltung des Drehimpulses.


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semasch
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 227
Wohnort: Wien
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-07-20

Moin weserskipper, du hast schon mal gut erkannt, dass auch die Sonne im Gesamtdrehimpuls zu integrieren ist, um eine bezugspunktunabhängige Erhaltung desselben zu bekommen. Für die Erhaltung des Drehimpulses muss der Schwerpunkt allerdings nicht ortsfest sein. Es ist nämlich mit \[\vec{L} = \vec{L}_{\text{E}} + \vec{L}_{\text{S}} = \vec{r}_{\text{E}} \times \vec{p}_{\text{E}} + \vec{r}_{\text{S}} \times \vec{p}_{\text{S}}\] und \[\frac{d}{dt} \vec{r}_{\text{E}} = \frac{1}{m_{\text{E}}} \vec{p}_{\text{E}}, \frac{d}{dt} \vec{p}_{\text{E}} = \vec{F}_{\text{G}} = -\frac{G m_{\text{E}} m_{\text{S}}}{|\vec{r}_{\text{E}}-\vec{r}_{\text{S}}|^3} (\vec{r}_{\text{E}}-\vec{r}_{\text{S}}), \frac{d}{dt} \vec{r}_{\text{S}} = \frac{1}{m_{\text{S}}} \vec{p}_{\text{S}}, \frac{d}{dt} \vec{p}_{\text{S}} = -\vec{F}_{\text{G}}\] die Zeitableitung des Drehimpulses \[\frac{d}{dt} \vec{L} = \frac{d}{dt} \vec{r}_{\text{E}} \times \vec{p}_{\text{E}} + \vec{r}_{\text{E}} \times \frac{d}{dt} \vec{p}_{\text{E}}+ \frac{d}{dt} \vec{r}_{\text{S}} \times \vec{p}_{\text{S}} + \vec{r}_{\text{S}} \times \frac{d}{dt} \vec{p}_{\text{S}} = \frac{1}{m_{\text{E}}} \vec{p}_{\text{E}} \times \vec{p}_{\text{E}} + \frac{1}{m_{\text{S}}} \vec{p}_{\text{S}} \times \vec{p}_{\text{S}} + (\vec{r}_{\text{E}}-\vec{r}_{\text{S}}) \times \vec{F}_{\text{G}} = -\frac{G m_{\text{E}} m_{\text{S}}}{|\vec{r}_{\text{E}}-\vec{r}_{\text{S}}|^3} (\vec{r}_{\text{E}}-\vec{r}_{\text{S}}) \times (\vec{r}_{\text{E}}-\vec{r}_{\text{S}}) = 0.\] LG, semasch


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