Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Folgen und Reihen » Für welche x konvergiert die Reihe?
Autor
Universität/Hochschule Für welche x konvergiert die Reihe?
Rob712
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 09.04.2021
Mitteilungen: 11
  Themenstart: 2021-07-25

Hallo das Problem hier ist das eine Potenzreihe ? sieht ja so aus jedoch stört mich der Bruch im x^n Teil Jemand eine Idee ?? https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54490_Unbenannt.JPG


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7670
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, du könntest zunächst einmal durch die Substitution \(z=\frac{x+2}{x-1}\) eine Potenzreihe daraus machen und für diese neue Reihe den Konvergenzradius bestimmen. Den Konvergenzbereich für die eigentliche Reihe könnte man dann per Rücksubstitution untersuchen... Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]\(\endgroup\)


   Profil
Rob712
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 09.04.2021
Mitteilungen: 11
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-25

Das ist die Lösung jedoch ist mir unklar warum hier -1/2 berechnet wird https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54490_l_sung.JPG


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7670
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, das ist Teil der Untersuchung des fraglichen Konvergenzbereichs (denn der Konvergenzradius der substituierten Reihe ist \(r=1\)). Konkret geht es hier um den Rand dieses Bereichs. Diese Untersuchung führt auf die Betragsgleichung \(|x+2|=|x-1|\), deren einzige Lösung \(x=-\frac{1}{2}\) ist. Anschließend wird dann mit dem Leibnizkriterium nachgerechnet, dass die Reihe auf diesem Rand konvergiert. Die Untersuchung der Ungleichung \(\left|\frac{x+2}{x-1}\right|<1\) steht aber noch aus. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


   Profil
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Tetris
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.08.2006
Mitteilungen: 7730
  Beitrag No.4, eingetragen 2021-07-25

Wie wäre es denn mit der Substitution (x+2)/(x-1) =: z^2 ? Wir hätten dann sum(1/(2*n-1)*((x+2)/(x-1))^n,n=1,\inf) = sum(1/(2*n-1)*z^(2*n),n=1,\inf) = z*sum(1/(2*n-1)*z^(2*n-1),n=1,\inf) = z*\artanh(z) = sqrt((x+2)/(x-1))*\artanh(sqrt((x+2)/(x-1))) für geeignete x. Meine Frage nun: Kann man das überhaupt so oder so ähnlich machen? Lg, T.


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7670
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo Tetris, sofern diese Reihenentwicklung für den Areatangens bekannt ist spricht im Prinzip nichts dagegen (man muss aber ersteinmal darauf kommen 😉). Das einzige Problem ist: du verlierst auf diese Weise die Ränder, denn der Areatangens ist ja nur auf \((-1,1)\) definiert. Man müsste also nach wie vor die Ungleichung \(\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}< 1\) betrachten und auch den Fall \(\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}=1\). Insofern sehe ich hier jetzt nicht so ganz, welchen Vorteil das haben könnte. (Außer natürlich den, dass man den Wert der Reihe so leicht berechnen kann bzw. dastehen hat.) Gruß, Diophant\(\endgroup\)


   Profil
Tetris
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.08.2006
Mitteilungen: 7730
  Beitrag No.6, eingetragen 2021-07-25

\quoteon(2021-07-25 14:04 - Rob712 im Themenstart) Hallo das Problem hier ist das eine Potenzreihe ? sieht ja so aus jedoch stört mich der Bruch im x^n Teil Jemand eine Idee ?? \quoteoff War das nicht die Frage? Lg, T.


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7670
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.7, eingetragen 2021-07-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) @Tetris: \quoteon(2021-07-25 19:03 - Tetris in Beitrag No. 6) \quoteon(2021-07-25 14:04 - Rob712 im Themenstart) Hallo das Problem hier ist das eine Potenzreihe ? sieht ja so aus jedoch stört mich der Bruch im x^n Teil Jemand eine Idee ?? \quoteoff War das nicht die Frage? \quoteoff Der Teil aus dem Themenstart, ja. Aber aus #2 gewinne ich eher die Vermutung, dass es vielmehr darum geht herauszufinden, für welche \(x\) die Reihe konvergiert. Die Fragen hängen aber natürlich miteinander zusammen. Und nein: es ist natürlich keine Potenzreihe, zumindest nicht nach Definition. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


   Profil
Tetris
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.08.2006
Mitteilungen: 7730
  Beitrag No.8, eingetragen 2021-07-25

Ich sehe gerade, es gibt zwei Fragen: "Ist das eine Potenzreihe?" und "Für welche x konvergiert die Reihe?" Der Fall x=1 lässt sich schnell abhaken, denn für diesen Fall ist keiner der Summanden definiert. Lg, T. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7670
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.9, eingetragen 2021-07-25

@Tetris: ich war etwas vorschnell vorhin. Dein Ansatz kann aus dem Grund nicht funktionieren, als bei dir der Bruch unter der Wurzel nicht negativ werden darf. Das muss er aber ganz offensichtlich sein, damit das Leibniz-Kriterium erfüllt ist... Der Fehler entsteht bei dir bei der Rücksubstitution. Vielleicht kann man das mit Betragsklammern irgendwie reparieren, aber ich sehe nach wie vor den Vorteil nicht... Gruß, Diophant


   Profil

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]