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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » Substitution
Autor
Universität/Hochschule J Substitution
PaulHeimer
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  Themenstart: 2021-07-28

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54877_math1.png Ich muss leider gestehen mir ist etwas unklar wie ich mit dieser Substitution arbeiten soll. Diese Substitution hängt, wenn ich das richtig sehe von einer Variable z ab. Diese widerum von sin(t), also von der Zeit. Um die DGL zu lösen müsste ich den Ansatz in diesem Fall zweimal ableiten und einsetzen. Muss ich hier durch diese Substitution die Kettenregel anwenden oder nicht? Es wäre ja eine Verkettung von z mit t oder? Bedeutet meine Ableitung wäre x'(t) = z'(sin(t))*cos(t), ... Vielen Dank im Vorraus Paul


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DerEinfaeltige
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-28

Das ist der Plan und mit etwas Glück wird sich dann vieles in Wohlgefallen auflösen bzw. zumindest ein Summand entfallen.


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Diophant
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-07-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo zusammen, \quoteon(2021-07-28 11:00 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 1) Das ist der Plan und mit etwas Glück wird sich dann vieles in Wohlgefallen auflösen bzw. zumindest ein Summand entfallen. \quoteoff vieles nicht, aber einiges: man erhält dann eine DGL der Form \(\ddot z+z\cdot f(t)=0\). Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Differentialgleichungen' in Forum 'Nichtlineare DGL 2. Ordnung' von Diophant]\(\endgroup\)


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PaulHeimer
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-28

Danke euch allen für die schnellen Antworten. Hab es mit eurer Hilfe doch noch geschafft. Hier noch die Lösung für vielleicht zukünftig Interessierte. Gruss Paul https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54877_math3.png


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Wario
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-07-29

\quoteon(2021-07-28 11:29 - PaulHeimer in Beitrag No. 3) https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54877_math3.png \quoteoff Ich hätte das in den letzten Schritten ausführlicher gehalten. Offensichtlich löst Du die 'lineare homogene DGL mit konstanten Koeffizienten' mit einem Ansatz, und diesen würde ich auch aufschreiben. Ansonsten ist der Schritt in der 4t-letzten Rechenzeile nicht "geteilt durch $\cos^2(t)$". Aus $a(t)\cdot b(t) =0$ folgt ganz einfach die ODER-Bedingung $ a(t)=0 ~\lor~ b(t)=0$. Wird dagegen (unnötigerweise) durch einen der Faktoren geteilt, ist sofort die Rückfrage: Was ist wenn der Divisor gleich Null wird?


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-29

@Wario: Definitionsbereich im Themenstart gelesen? ... Gruß, Diophant


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Wario
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-07-29

\quoteon(2021-07-29 13:39 - Diophant in Beitrag No. 5) @Wario: Definitionsbereich im Themenstart gelesen? ... \quoteoff Ok, von mir aus. Würde ich mir aber trotzdem nicht angewöhnen so aufszuschreiben: Da müsste man ausführlicherweise wieder dazuschreiben, etwa "da $\cos(t) \neq 0$ für $-\frac\pi2 < t < \frac\pi2$" oder ähnlich. Das ist unnötig, einfach gleich gescheit machen; und nicht gegenargumentieren, dass man es ja hier doch anders machen kann... Überdies lässt sich die ermittelte Lösung m.E. auf weitere Intervalle verallgemeinern.


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