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Analysis » Integration » Integral x^n * ln(x)^n
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Universität/Hochschule Integral x^n * ln(x)^n
elson1608
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  Themenstart: 2021-07-28

Es ist folgende Behauptung mit vollständiger Induktion zu zeigen: \[\int x^n*ln(x)^n dx = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k*n!}{(n-k)!*(n+1)^{k+1}}*x^{n+1}*ln(x)^{n-k}\] Ich weiß, dass dies gelöst werden kann indem man den allgemeinen Fall: \[\int x^m*ln(x)^n dx = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k*n!}{(n-k)!*(m+1)^{k+1}}*x^{m+1}*ln(x)^{n-k}\] zeigt. Ich frage mich allerdings ob es auch möglich ist direkt den Fall m=n so wie oben beschrieben zu zeigen?


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkommen hier im Forum! Ich verstehe deine Frage (noch) nicht so ganz. Wenn du den Fall für beliebige natürliche Exponenten schon hast, must du dort doch nur \(m=n\) setzen. Und wenn man es beweisen möchte, dann läuft es sicherlich einigermaßen analog zum allgemeinen Fall. Der Induktionsanfang ist mit \(n=1\) schnell erledigt und der Induktionsschluss ist im Prinzip eine einmalige partielle Integration mit einer anschließenden 'Umformungs-Orgie'... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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elson1608
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-28

\quoteon(2021-07-28 16:04 - Diophant in Beitrag No. 1) Hallo und willkommen hier im Forum! Ich verstehe deine Frage (noch) nicht so ganz. Wenn du den Fall für beliebige natürliche Exponenten schon hast, must du dort doch nur \(m=n\) setzen. Und wenn man es beweisen möchte, dann läuft es sicherlich einigermaßen analog zum allgemeinen Fall. Der Induktionsanfang ist mit \(n=1\) schnell erledigt und der Induktionsschluss ist im Prinzip eine einmalige partielle Integration mit einer anschließenden 'Umformungs-Orgie'... Gruß, Diophant \quoteoff Ich weiß, dass es mit festem m leicht zu zeigen ist in dem man n=m setzt, ich frage mich jedoch wie der Beweis aussehen würde wenn man direkt den Fall: \[\int x^n*ln(x)^n dx = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k*n!}{(n-k)!*(n+1)^{k+1}}*x^{n+1}*ln(x)^{n-k}\] betrachtet denn hier komme ich mit partieller Integration dann nicht mehr auf meine Induktionsvoraussetzung da: \[\int x^{n+1}*ln(x)^{n+1}dx = ln(x)^{n+1}*\frac{x^{n+2}}{n+2}-\frac{n+1}{n+2}*\int x^{n+1}*ln(x)^{n}dx\] Die Potenz vom x ist sozusagen um 1 zu hoch.


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, ja, jetzt sehe ich das Problem. Im allgemeinen Fall würde man ja vermutlich \(m\) als fest annehmen und die Induktion nach \(n\) durchführen. Und das wird hier nichts, da man nur noch eine Variable hat. Mit Sicherheit wird es da irgendeinen Kniff geben, mit dem man das in den Griff bekommt. Ich kann mir allerdings nicht vorstellen, dass das irgendwie eine Vereinfachung mit sich bringt (im Gegenteil). Ich werde aber mal noch darüber nachdenken. Vielleicht hat ja jemand anderes hier noch eine zündende Idee? Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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