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Mathematik » Geometrie » lokale Parametrisierung einer regulären Fläche finden
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Universität/Hochschule J lokale Parametrisierung einer regulären Fläche finden
dvdlly
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  Themenstart: 2021-07-30

Hi, Gegeben ist folgende Aufgabe: Sei \(S := \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2+y^2-z^2 = 1 \}\) finde eine lokale Parametrisierung von \(S\). Bestimme alle Tangentialebenen an \((x,y,0)\) und zeige, dass sie parallel zur z-Achse liegen. Ich bin auf eine Parametrisierung \((x,y,\sqrt{x^2+y^2-1}\) gekommen, aber irgendwie geht damit nicht auf, dass die Tangentialebene an \((x,y,0)\) parallel zur z-Achse liegt. Kann mir jemand erklären was man sich überlegen muss? Danke!


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich die Aufgabe richtig vestehe. Aber haben denn die beiden Aufgabenteile überhaupt miteinander zu tun? Deine Parametrisierung ist jedenfalls für \(z\ge 0\) korrekt. Wie ist denn das Tupel \((x,y,0)\) in diesem Zusammenhang zu verstehen? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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dvdlly
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-30

Hi, Danke für deine Antwort. Ich denke \((x,y,0)\) sind alle Punkte aus \(S\), die in letzter Koordinate \(0\) stehen haben.


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-07-30 13:56 - dvdlly in Beitrag No. 2) Danke für deine Antwort. Ich denke \((x,y,0)\) sind alle Punkte aus \(S\), die in letzter Koordinate \(0\) stehen haben. \quoteoff Ich weiß eben nicht so recht, ob das so gemeint ist. Denn dann würde der Begriff Tangentialebene doch überhaupt keinen Sinn machen. Etwas anderes wäre es, wenn man mit dem Punkt \((x,y,0)\) in die Menge \(S\) einginge. Dann erhält man nämlich eine Fläche mit der fraglichen Eigenschaft... Das war hier ein Denkfehler, sorry dafür. Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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dvdlly
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-30

Die Tangentialebene ist doch die lineare Hülle der Tangentialvektoren an diesem Punkt oder nicht? Und noch eine Aufgabe: Bestimme die Tangentialebene von \(p \in S^2\) also \(T_pS\), da muss man doch für eine gewählte Parametrisierung von \(S^2\) den Spann der beiden partiellen Ableitungen berechnen, also genau das gleiche oder nicht?


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lula
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-30

Hallo deine Parametrisierung lässt nur positive z zu, ist also nur die Hälfte der Fläche! Also parametrisiere lieber entsprechend zu Kugelkoordinaten. da die Fläche - ein Rotationshyperboloid - symmetrisch zu z=0 ist ist direkt klar, dass die Tangentialebene parallel zur z- Achse sein müssen Gruß lula


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nzimme10
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-07-30

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Da $S$ bereits durch eine Gleichung beschrieben wird gilt $$ T_pS=(\opn{grad}(f)(p))^\perp, $$ wobei $f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2$. Vielleicht hilft dir das. Alternativ, wenn du eine Parametrisierung $\varphi$ hast, dann wird $T_pS$ durch die Spalten der Jacobi-Matrix von $\varphi$ in $\varphi^{-1}(p)$ aufgespannt; also $\opn{im}(\dd \varphi(\varphi^{-1}(p)))=T_pS$. Letzteres bringt eigentlich nur nochmal zum Ausdruck, dass $\dd \varphi(a)$ ein pushforward ist, also eine Abbildung $$ \dd\varphi(a)\colon T_aM\to T_{\varphi(a)}S, $$ wobei $M$ der Definitionsbereich der Parametrisierung ist. Die Eigenschaften einer Parametrisierung liefern nun eben, dass $\dd\varphi(a)$ surjektiv sein muss und daher die Behauptung oben gilt. LG Nico\(\endgroup\)


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