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Logik, Mengen & Beweistechnik » Induktion » Doppelinduktion
Autor
Universität/Hochschule Doppelinduktion
Columbo701
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.11.2020
Mitteilungen: 8
  Themenstart: 2021-08-04

Hallo, ich will gerne beweisen, dass eine bestimmte Aussage P(m,n) für alle m>=1 und alle n>=3m gilt. Meine Frage ist nun, wie ich das mache. Ich dachte an Doppelinduktion. Ich habe nun schon bewiesen, dass P(1,n) für alle n>=3 gilt. Ich will dies gerne als Induktionsbasis nehmen. Für Doppelinduktion habe ich mal gelernt, dass man noch zeigen müsste, dass aus P(m,n) folgt, dass auch sowohl P(m+1,n) gilt als auch P(m,n+1). Nun kommt mein Problem: Ersteres gilt ja unter Umständen gar nicht - denn wenn zB P(1,3) gilt, behaupte ich ja gar nicht, dass P(2,3) auch gilt. Die Behauptung soll ja nur für n>=3m gelten. Ich stehe auf dem Schlauch, ob Doppelinduktion trotzdem geht (und wenn ja, wie genau), oder ob ich auf eine andere Beweistechnik zurückgreifen muss. Danke schon mal für Eure Hilfe!


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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3009
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-04

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Hallo, Du könntest zeigen, dass: - $P(m,3m)$ für alle $m\in \IN$ gilt (möglicherweise per Induktion nach $m$) und, dass - Falls $P(m,n)$ gilt, dann auch $P(m,n+1)$. Ob das ein sinnvoller Ansatz ist, hängt von dem konkreten $P$ ab. Wenn Du uns dieses verrätst, kann man gezielter helfen.\(\endgroup\)


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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 3009
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-08-04

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) \quoteon(2021-08-04 15:23 - Columbo701 im Themenstart) Ich habe nun schon bewiesen, dass P(1,n) für alle n>=3 gilt. Ich will dies gerne als Induktionsbasis nehmen. \quoteoff Das hatte ich in meiner ersten Antwort nicht berücksichtigt. Mit dieser Induktionsbasis genügt es, die Implikation $P(m,n) \implies P(m+1,n+3)$ zu zeigen.\(\endgroup\)


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