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Analysis » Folgen und Reihen » (geometrische?) Reihe berechnen
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Universität/Hochschule (geometrische?) Reihe berechnen
lilly2108
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  Themenstart: 2021-08-04

Hallo liebes Forum, Ich hätte eine Frage: Wie kommt man darauf, dass für ein $\lambda\in[0,1]$ $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}\binom{2n+1}{n}\frac{\lambda^{n+1}}{(1+\lambda)^{2n+1}}=\lambda$. Nach langem rumrechnen, hoffe ich auf ein paar Tipps/Anmerkungen. Meine Anfänge: $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}\binom{2n+1}{n}\frac{\lambda^{n+1}}{(1+\lambda)^{2n+1}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}\frac{(2n+1)!}{n!(n+1)!}\frac{\lambda^{n+1}}{(1+\lambda)^{2n+1}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}\frac{(2n+1)(2n)!}{n!(n+1)!}\frac{\lambda^{n+1}}{(1+\lambda)^{2n+1}}$ $=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}\frac{\lambda^{n+1}}{(1+\lambda)^{2n+1}}$ Liebe Grüße, lilly


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-04

Tipp: Nach der Substitution $x = \frac{\lambda}{(1+\lambda)^2}$ hast du bis auf einen Faktor gerade die erzeugende Funktion der Catalan-Zahlen.


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lilly2108
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-09

Danke das hat mir weitergeholfen. Aber ich bin doch nich etwas verwirrt. Also ich hab dann jetzt: $\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n} \frac{1}{n+1} \frac{\lambda^{n+1}}{(1+\lambda)^{2n+1}}$ $=(1+\lambda) \sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n} \frac{1}{n+1}\biggl( \frac{\lambda}{(1+\lambda)^2}\biggl)^{n+1}$ $=(1+\lambda) \sum_{n=0}^{\infty}C_n x^{n+1}$ mit $C_n$ als Catalan Zahlen. Aber dann hab ich ja nicht die gewünschte Form $=(1+\lambda) \sum_{n=0}^{\infty}C_n x^n$?


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-09

Du kannst ja auch einen anderen Faktor herausziehen:$$ \sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n} \frac{1}{n+1} \frac{\lambda^{n+1}}{(1+\lambda)^{2n+1}} = {\lambda\over1+\lambda}\sum_{n=0}^\infty{2n\choose n} \frac1{n+1}\left[{\lambda\over(1+\lambda)^2}\right]^n = {\lambda\over1+\lambda}\sum_{n=0}^\infty C_n\,x^n$$--zippy


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lilly2108
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-09

Danke zippy, aber dann komme ich nicht auf das Ergebnis: Dann wäre $(1+\lambda)\frac{\lambda}{1+\lambda}\sum_{n=0}^{\infty}C_n x^n$ =$\lambda\frac{\lambda}{1+\lambda}$, aber da müsste $\lambda$ rauskommen.🙁


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Triceratops
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-08-09

Setze einmal die Formel $\sum_{n=0}^{\infty} C_n x^n = \frac{2}{1+ \sqrt{1-4x}}$ für die erzeugende Funktion ein. Setze anschließend die Def. von $x$ wieder ein.


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lilly2108
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-09

Dann hätte ich: ($1+\lambda)\frac{\lambda}{1+\lambda}\sum_{n=0}^{\infty}C_nx^n$ =$\lambda\frac{2}{1+\sqrt{1-4\frac{\lambda}{(1+\lambda)^2}}}$ =$\lambda\frac{2}{1+\sqrt{\frac{(1-\lambda)^2}{(1+\lambda)^2}}}$ =$\lambda\frac{2}{1+\frac{1-\lambda}{1+\lambda}}$ =$\lambda\frac{2}{\frac{2}{1+\lambda}}$ =$\lambda 2 \frac{1+\lambda}{2}$ =$\lambda (1+\lambda)$ ?


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Kuestenkind
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-08-09

\quoteon(2021-08-09 18:54 - lilly2108 in Beitrag No. 6) Dann hätte ich: ($1+\lambda)\frac{\lambda}{\color{red}{(1+\lambda)^2}}\sum_{n=0}^{\infty}C_nx^n$ \quoteoff Gruß, Küstenkind


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lilly2108
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-09

Super vielen Dank, ich habs!🤗


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