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Universität/Hochschule J Kugel berührt Sattelfläche
PaulHeimer
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  Themenstart: 2021-08-05

Hallo zusammen Ich habe hier eine Frage bezüglich dieser Aufgabe: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54877_B2B647F9-26E8-4FBE-BCD6-139B1BCF118B.jpeg Wie die Musterlösung das macht sehe ich durchaus ein, die Frage die ich mir jedoch stelle ist, könnte ich auch die Sattelfläche nach 0 auflösen, das gleiche mit der Kugel machen, d.h. (x^2 + (y-2)^2 + (z-5)^2 = r^2) nach 0 auflösen und gleichsetzen. Da ich dann das Minimum des Radius suche könnte ich doch dann den ganzen Term ableiten und 0 setzen. Wäre das nicht eine valide Idee? Und falls nicht warum? Oder könnte ich hier sogar mit dem Gradienten arbeiten? Ich habe diesen Ansatz schon mehrfach versucht hat aber nie die richtige Lösung gegeben. Wäre die Vorgehensweise jedoch richtig? Vielen Dank im Vorraus Paul


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-05

Hallo, dein Ansatz mit dem Gleichsetzen funktioniert auch, ist (in diesem Fall) einfach nur mehr Rechenaufwand. Deinen Ansatz per Gradient habe ich noch nicht so ganz verstanden. Meinst du hier den Gradient einer implizit gegebenen Funktion? Falls ja: wie bist du da vorgegangen? Gruß, Diophant


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PaulHeimer
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-05

Hallo, Danke für die Antwort. Ich werde meine Notizen in dem Fall noch einmal auf Flüchtigkeitsfehler überprüfen. Das mit dem Gradienten war nur so eine Idee. Wenn sich zwei Flächen treffen müssten ja die Normalenvektoren in diesem Punkt in die gleiche Richtung zeigen. Dann habe ich mir halt gedacht vielleicht könnte man die beiden Gradienten der beiden Körper vergleichen und so auf die Berührpunkte schliessen. Und wenn man die Berührpunkte hat, hätte man so vielleicht auf den Radius, also die kleinste Zahl r > 0 schliessen können. Noch einmal vielen Dank! Paul


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, man könnte den Gradienten von \(S\) hernehmen, um eine Gerade durch einen allgemeinen Punkt von \(S\) zu legen, deren Richtung durch den Gradienten vorgegeben wird. Dann muss diese Gerade 'nur noch' durch den Mittelpunkt der Kugel gehen... Da das Problem quadratischer Natur ist, ist die Vorgehensweise per quadratischer Ergänzung hier ja durchaus eine naheliegende Option und spart im Vergleich zu den anderen Alternativen per Differentialrechnung mächtig Arbeit. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]\(\endgroup\)


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PaulHeimer
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-05

All die Möglichkeiten… Super Danke! Ja die quadratische Ergänzung scheint mir hier auch am sympathischsten. Aber trotzdem faszinierend auf wie viele verschiedene (ob leicht oder schwere) Wege man ans Ziel kommen würde. Nochmals Danke Paul


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