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Mathematik » Topologie » Metriken, Normen, Verständis
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Universität/Hochschule J Metriken, Normen, Verständis
subzer0
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  Themenstart: 2021-08-05

Hi Leute, ich habe immer wieder mit der Abstraktion zu kämpfen. Habe meine Fragen gebündelt. Lasst Euch nicht abschrecken. 1) Wie genau nennt man die erste Eigenschaft einer Metrik, Positivität oder Definitheit? Ich finde unterschiedliche Bezeichnungen in der Literatur. Ich meine hier nur die Eigenschaft: d(x,y)=0 <=> x=y forall x,y € X 2) Wie nennt man die zweite Eigenschaft bei Normen, Homogenität oder absolute Homogenität? 3)Was für Arten von Umgebungen außer eps-Kugeln gibt es noch? Mir ist klar, dass man zB nicht unbedingt einen einheitlichen Raidus in jede Richtung (Richtung im R^n) braucht, aber wie drückt man das aus? 4.1) Ist eine Umgebung immer eine Menge, die eine OFFENE Menge enthält, sodass der Punkt x auch in der Umgebung enthalten ist? 4.2) Falls ja, dann gehe ich davon aus, dass eine Umgebung OFFEN sein, oder KANN, muss aber nicht, korrekt? Offen ist sie dann, wenn man die Umgebung als eps.-Kugel setzt. 4.3) Die kleinste mögliche Umgebung eines Punktes x ist doch die Menge U:={x}, richtig? Dies geht aber nicht immer. Danke!


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) Hi, 1) Ich glaube nicht, dass das so einheitlich geregelt ist - nenne es einfach so, wie es dir sinnvoll erscheint, der Name ist nicht so wichtig. Unter Positivität würde man aber wohl eher $d(x,y) \geq 0$ verstehen. Definitheit sollte passen. 2) Was ist die zweite Eigenschaft? Homogenität ist schon ok. 3) Ich denke Frage 4) beantwortet das. 4.1) Ja, eine Umgebung von $x$ ist eine Menge $U$, welche eine offene Menge $V$ enthält, sodass $x \in V$. Beispielsweise wären das offene Mengen um $x$. (Auch hier ist die Bezeichnung nicht ganz einheitlich, man bezeichnen mit Umgebungen von $x$ bloß die offenen Mengen um $x$.) 4.2) Ja. Eine Kugel muss es aber nicht sein, um offen zu sein. 4.3) Ja. Wie du sagst, ist das meistens keine Umgebung (was aber natürlich von der Topologie abhängt).\(\endgroup\)


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subzer0
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-05

\quoteon(2021-08-05 19:54 - Kezer in Beitrag No. 1) Hi, 1) Ich glaube nicht, dass das so einheitlich geregelt ist - nenne es einfach so, wie es dir sinnvoll erscheint, der Name ist nicht so wichtig. Unter Positivität würde man aber wohl eher $d(x,y) \geq 0$ verstehen. Definitheit sollte passen. 2) Was ist die zweite Eigenschaft? Homogenität ist schon ok. 3) Ich denke Frage 4) beantwortet das. 4.1) Ja, eine Umgebung von $x$ ist eine Menge $U$, welche eine offene Menge $V$ enthält, sodass $x \in V$. Beispielsweise wären das offene Mengen um $x$. (Auch hier ist die Bezeichnung nicht ganz einheitlich, man bezeichnen mit Umgebungen von $x$ bloß die offenen Mengen um $x$.) 4.2) Ja. Eine Kugel muss es aber nicht sein, um offen zu sein. 4.3) Ja. Wie du sagst, ist das meistens keine Umgebung (was aber natürlich von der Topologie abhängt). \quoteoff Hi und danke. gelten Deine Antworten auch für metrische Räume?


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Kezer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-05

Jup.


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-05

\quoteon(2021-08-05 20:06 - Kezer in Beitrag No. 3) Jup. \quoteoff Hallo nochmal. Ich bin etwas verwirrt. Mein Buch sagt folgendes Widersprüchliche, vgl. die ersten Sätze \quoteon() Eine Umgebung ist eine Menge, die eine offene Menge enthält, die wiederum den Punkt enthält. \quoteoff Später sagt das Buch, erster Satz!: \quoteon() Weitergehende Hinweise: Diese Aufgabe betont insbesondere, dass Umgebungen nicht offen sein müssen und nicht zusammenhängend sein müssen. Bei vielen Überlegungen kommt man zwar mit den einfachen "-Umgebungen \ ]p - \epsilon, p + \epsilon[ aus, die sowohl offen als auch zusammenhängend sind, aber der allgemeinere Umgebungsbegriff wird immer wichtiger, je abstrakter der Rahmen wird, in dem man arbeitet. \quoteoff


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ligning
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-08-05

Was genau soll der Widerspruch sein?


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subzer0
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-05

\quoteon(2021-08-05 20:54 - ligning in Beitrag No. 5) Was genau soll der Widerspruch sein? \quoteoff Ja, stimmt, da ist keiner. 😃


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