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Funktionentheorie » Holomorphie » Möbiustransformation gesucht
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Universität/Hochschule J Möbiustransformation gesucht
Pter87
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Dabei seit: 09.11.2018
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  Themenstart: 2021-08-11

Hallo, ich habe gerade eine Möbiustransformation berechnet, die den Einheitskreis auf $\{Re(z)>0\}$ abbildet. Ich bekomme als Ergebnis die Möbiustransformation $f(z) = \frac{-z+1}{z+1}+i$. In einem Video hat jemand auch für genau dieses Problem eine Möbiustransformation berechnet und hat $f(z) = \frac{-z+1}{z+1}$ rausbekommen. Ich habe leicht andere Punkte für die Berechnung verwendet als er. Das was ich rausbekommen habe, müsste doch auch richtig sein oder habe ich mich irgendwo verrechnet?


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StrgAltEntf
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Mitteilungen: 7827
Wohnort: Milchstraße
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-11

Hallo, die Abbildung g(z) = z + i bildet offenbar die rechte Halbebene auf die rechte Halbebene ab.


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Pter87
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 420
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-11

Ja, genau das habe ich mir auch gedacht. Ich hatte erwartet, dass die Funktion unabhängig von den gewählten Punkten ist, aber scheinbar können die Funktionen durchaus nicht gleich sein, auch wenn sie das geforderte Abbildungsverhalten haben.


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SergejGleitman
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Dabei seit: 13.11.2019
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-13

Moinsen, falls noch Interesse an der Frage besteht hier ein wenig "handwaving" was mir beim Verstehen geholfen hat: Eine Möbiustransformation ist durch das Abbildungsverhalten auf 3 unterschiedlichen Punkten eindeutig bestimmt. Daher ist es nicht verwunderlich, dass du hier unterschiedlichste Lösungen bekommen kannst. Willst du die rechte Halbebene auf Einheitskreisscheibe abbilden, musst du die imaginäre Achse im Uhrzeigersin auf den Einheitskreis abbilden (Stetigkeitsargument). Du musst also z.B. die Bilder von -i,0,i in dieser Reihenfolge durchlaufen, wenn du dich im Uhrzeigersinn (mathematisch negativer Drehsinn) auf dem Einheitskreis bewegst, denn die rechte Seite bezüglich der "Fahrtrichtung" -i,0,i auf der imaginären Achse ist die rechte Halbebene. Eine Möbiustransformation erhält diese Lagebeziehung bezüglich der "Fahrtrichtung" (ebenfalls Stetigkeit) und daher muss die "Fahrtrichtung" auf dem Einheitskreis der Uhrzeigersinn sein, denn dann ist "in Fahrtrichtung rechts" das innere des Einheitskreises. Long Story Short: Du musst nur die imaginäre Achse auf den Einheitskreis abbilden (richtigrum gewickelt) und wenn du eine Abbildung gefunden hast, kannst du den Kreis ein Stück weiterdrehen und erhälst eine neue Möbiustransformation, die immernoch deinen Anforderungen genügt. Insgesamt erhälst du so also unendlich viele Abbildungen, die die beiden Mengen aufeinander abbilden. Wie StrAltEntf geschrieben hat lässt g(z)=z+i die rechte halbebene invariant. So kann man sich das natürlich auch vorstellen: Wenn du zuerst die ganze komplexe Ebene "hoch-" bzw "runterschiebst" ist das quasi das gleiche, wie die "Scheibe drehen" nach dem Transformieren auf den Einheitskreis.


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Pter87
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Mitteilungen: 420
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-20

@SergejGleitman Danke für die Ausführung, war wirklich hilfreich.


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Pter87 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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