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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Reguläre Funktionen auf Garben assoziiert zu Divisoren auf einer Kurve
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Universität/Hochschule J Reguläre Funktionen auf Garben assoziiert zu Divisoren auf einer Kurve
Kezer
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  Themenstart: 2021-08-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) Hi, ich finde meinen Fehler nicht: Einerseits gilt Vakil, 19.4.1. Sei $C$ eine geometrisch reguläre, geometrisch integrale Kurve über einen Körper $k$ und $C \not \cong \PP_k^1$ sowie $\LL$ eine invertierbare Garbe auf $C$ mit $\deg{\LL} = 1$. Dann gilt $h^0(C, \LL) < 2$. Andererseits betrachte ich folgendes Beispiel: Sei $C = \variety_+(x^3 + y^3 + z^3) \subseteq \operatorname{Proj}(k[x,y,z]) = \PP_k^2$ mit $k$ algebraisch abgeschlossen und $\operatorname{char}{k} \neq 3$. Sie ist integral und auch regulär nach dem Jacobi-Kriterium. Zusätzlich ist $C \not \cong \PP_k^1$, da $p_g(C) = 1$. Sei $p = (1:-1:0) \in C$, dann betrachten wir $\LL = \OO_C(p)$, welche Grad $1$ hat. Laut Definition ist \[ \Gamma(C, \LL) = \{t \in K(C)^{\times} : \operatorname{div}{t} + p \geq 0 \} \] Dabei ist $K(C)$ der Quotientenkörper von $k[y/x, z/x]/((y/x)^3 + (z/x)^3 + 1)$. Dann ist doch \[ s = \frac{1}{y/x+1} \in \Gamma(C, \LL), \] da $s$ nur einen Pol in $(1:-1:0)$ hat? Somit wären $1,s \in \Gamma(C, \LL)$ und folglich $h^0(C, \LL) \geq 2$. Wo liegt mein Fehler?\(\endgroup\)


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kurtg
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-16

Hallo Kezer, ich denke, deine Polordnung ist $3$. Um die Verschwindungsordnung von z.B. $x$ zu berechnen, kannst du die generische Ordnung der Faser des induzierten Morphismus nach $\mathbf{P}^1_k$ berechnen (weil die Funktion separabel ist nach deiner Voraussetzung Charakteristik ungleich $3$), die $3$ ist. Vergleiche: Was ist der Divisor von $x$ und $y$ als rationale Funktionen auf einer elliptischen Kurve gegeben durch eine affine Weierstraßgleichung $y^2 = f(x)$?


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Kezer
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) Danke, kurtg, das hat mal wieder sehr geholfen! Ich denke jetzt auch, dass die Polordnung $3$ ist. \quoteon(2021-08-16 20:12 - kurtg in Beitrag No. 1) Um die Verschwindungsordnung von z.B. $x$ zu berechnen, kannst du die generische Ordnung der Faser des induzierten Morphismus nach $\mathbf{P}^1_k$ berechnen (weil die Funktion separabel ist nach deiner Voraussetzung Charakteristik ungleich $3$), die $3$ ist. \quoteoff Ich wollte noch fragen: Wie meinst du das, bzw. kannst du das ein bisschen ausführen? \quoteon(2021-08-16 20:12 - kurtg in Beitrag No. 1) Vergleiche: Was ist der Divisor von $x$ und $y$ als rationale Funktionen auf einer elliptischen Kurve gegeben durch eine affine Weierstraßgleichung $y^2 = f(x)$? \quoteoff Ich glaube für $y^2 = (x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)$ ist \[ \operatorname{div}(x) = (0: \sqrt{-e_1 e_2 e_3}: 1) + (0: - \sqrt{-e_1 e_2 e_3}: 1) - 2 (0:1:0) \] und \[ \operatorname{div}(y) = (e_1:0:1) + (e_2:0:1) + (e_3:0:1) - 3 (0:1:0). \]\(\endgroup\)


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kurtg
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-23

Siehe [Fulton, Intersection Theory, Example 1.5.1]. Das nicht-konstante Element $x$ des Funktionenkörpers von $C$ definiert eine nicht-konstante rationale Abbildung nach $\mathbf{A}^1$, das sich wegen der Regularität und dem Bewertungskriterium für Eigentlichkeit oder der Kurven-Funktionenkörper-Kategorienäquivalenz eindeutig zu einem endlichen flachen Morphismus $f_x: C \to \mathbf{P}^1$ fortsetzt. Der Divisor von $x$ ist dann $f_x^{-1}\{0\} - f_x^{-1}\{\infty\}$, schematheoretisches Pullback, also mit Vielfachheiten. Deine Divisoren sehen gut aus.


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Kezer
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-27

Ah, so meinst du das. Cool, danke nochmal, kurtg!


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Kezer hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Kezer hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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