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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Explizite Konstruktion hyperelliptischer Kurven
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Universität/Hochschule J Explizite Konstruktion hyperelliptischer Kurven
Kezer
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  Themenstart: 2021-08-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) Hallo, mir ist ein Schritt im Beweis von p. 515 aus Vakils Buch nicht klar. Es ist prinzipiell die explizite Konstruktion der hyperelliptischen Kurve mit den Verzweigungspunkten $p_1, \dots, p_r \in \mathbb{P}^1$. Es wird oBdA $0, \infty \in \PP^1$ verschieden von $p_1, \dots, p_r$ gewählt, sodass $p_1, \dots, p_r \in \PP^1 \setminus \infty = \A^1 = \Spec{k[x]}$. Dann wird gezeigt, dass man auf diesen Koordinaten $y^2 = (x-p_1) \dots (x-p_r) = f(x)$ schreiben kann, wobei $p_1, \dots, p_r$ als Elemente in $k$ interpretiert werden. Danach wechseln wir auf $\PP^1 \setminus 0 = \Spec{k[u]}$ mit $u=1/x$. Hier muss die Kurve dann durch \[ \Spec{k[z,u]/(z^2-(u-1/p_1)\dots(u-1/p_r))} = \Spec{k[z,u]/ \left( \left(\prod_i p_i \right) z^2 - (-u)^r f(1/u) \right)} \] gegeben sein. Allerdings schreibt er dann: Im Quotientenkörper ist \[ z^2 = u^r f(1/u) = \dots. \] Woher kommt diese Gleichung? Bzw. wohin ist $\prod_i p_i$ verschwunden?\(\endgroup\)


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-27

Ist der Faktor denn für die weitere Argumentation wichtig?


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Kezer
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-27

Nicht wirklich. Bzw. endet hier auch schon fast der Beweis.


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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-27

Ok. Sonst könnte man natürlich auch durch eine Substitution (multupliziere $z$ mit der Wurzel des Faktors) den Faktor verschwinden lassen.


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Kezer
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-27

Hmm, vielleicht sollte das tatsächlich die weitere Argumentation nicht beeinflussen. Ich werde es mir irgendwann im September nochmal genauer anschauen, danke schon mal!


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Kezer
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-01

Hab es mir nochmal angeschaut (immerhin ist es September), ich glaube, dass Vakil tatsächlich stillschweigend eine solche Substitution vornimmt. Danke nochmal!


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Kezer hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Kezer hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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