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Mathematik » Topologie » Spektrum eines Operators
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Beruf J Spektrum eines Operators
sulky
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  Themenstart: 2021-08-22

Hallo Zusammen, Ich benötige Hilfe zum Verständniss zum Spektrum eines Operators. Wir kennen aus der Topologie $\sigma(x)$ für x, Element einer Banachalgebra. Aus der Linearen Algebra kennen wir das Spektrum als die Menge aller Eigenwerte. Diese zwei Definitionen haben viel gemeinsam, dennoch gibt es in der Topologie Beispiele, wo ein Element des Spektrums kein Eigenwert ist. Das Spektrum ist definiert als $\sigma(x)=\mathbb{C}\backslash\{\lambda\in \mathbb{C}:\lambda-x \;invertierbar\}$ Sei nun $S:X\to Y $ die Definitionsmenge von $S$. Beispielsweise ein Banachraum. Meine Frage ist: Was bedeutet der Ausdrck $\sigma(S)$? Für mich scheint es naheliegend den ausdruck $\sigma(x)$ zu Untersuchen. Es geht aber um $\sigma(S)$


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AnnaKath
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-22

Huhu sulky, Du darfst sicher gerne $x = S$ setzen... $S$ ist doch Element einer Banach-Algebra und hat als solches ein Spektrum (und natürlich ist die viel allgemeinere, "topologische" Definition zu verwenden). lg, AK


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sulky
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-22

Hallo Annakath, Ist es denn richtig, wenn ich $\lambda $ durch $\lambda \cdot Id_X$ ersetze? Dann wäre $\sigma{(S)}=\mathbb{C}\backslash\{\lambda\in\mathbb{C}:\lambda \cdot Id_X-S\in G(A) \}$ wobei $G$ die Menge der invertierbaren ist. Aber was ist $A$? $A$ wäre demnach ja eine Banachalgebra, welche $S$ beinhaltet. Wenn nichts definiert ist, was ist $A$?


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AnnaKath
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-22

Nun, die Idee ist ok (und für $Y=X$ auch richtig). $A$ ist eine Algebra geeignete Operator-Algebra. Was das konkret ist, hängt nun natürlich von der Algebren-Multiplikation (und damit von $Y$ ab).


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sulky
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-22

Ich wollte die Frage allgemein stellen und nicht auf ein Beispiel bezogen. Aber ja, im Bespiel sind Definitionsmenge und Bildmenge identisch. Ist denn die Idee dahinter, dass für einen Banachraum $X$ die Menge aller Linearen, Stetigen Operatoren $B(X)$ selber eine Banachalgebra sind und wir dadurch unser $A$ haben?


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AnnaKath
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-08-22

Genau!


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sulky
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-22

Super, Vielen Dank Annakath


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sulky hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
sulky hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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