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Mathematik » Topologie » Rand einer Menge
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Universität/Hochschule J Rand einer Menge
Abercus
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  Themenstart: 2021-08-25

Hallo! Ich bin gerade dabei einige Aufgaben in der Topologie zu bearbeiten. Es sind die folgenden Teilmengen des \(R^2\) gegeben: \(A_{1}\)= \(\{(x,y)|x>0 und y\neq 0\}\) \(A_{2}\)= \(\{(x,y)|0\leq x^2-y^2 <1 \}\) Ich soll die Ränder der jeweiligen Mengen angeben. Für \(A_{1}\): \(\{(x,y)|x=0,y=0\}\) Für \(A_{2}\):\(\{(x,y)|x^2-y^2=1\}\) Stimmt das? Grüße, Abercus


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, Bei der ersten weiß ich nicht genau, was du meinst. Eventuell das richtige, dann wäre es aber falsch notiert. Zeichne dir die Menge \(A_1\) am besten mal als Schraffur in ein Koordinatensystem, dann erkennt man den Rand ja leicht. Auch bei der zweiten Menge hilft eine Skizze. Das passt so noch nicht, denn es fehlt noch die eine oder andere Begrenzungsgerade... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Abercus
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-25

Danke für die schnelle Antwort. Ich habe mir die Aufgabe noch einmal angesehen: Für den Rand von \(A_{1}\) habe ich \(\{(x,y)|x=0 od. y=0\}\). Für \(A_{2}\) habe ich \(\{(x,y)|y>x und x^2-y^2=1\}\). Grüße, Abercus


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, nein, das passt immer noch nicht. Wie gesagt, ich empfehle dir dringend, das ganze einmal zu skizzieren. Zur Menge \(A_1\): hier ist die gesamte y-Achse Teil des Rands. Also \(x=0\). Ein weiterer Teil des Rands ist jedoch (für mein Verständnis) die positive x-Achse (denn die Punkte darauf liegen nicht in \(A_1\), in jeder Umgebung solcher Punkte liegen aber Punkte aus \(A_1\)). Falls du die gemeint hast, musst du das anders notieren. Vorschlag: \[\partial A_1=\lbrace (x,y)\mid x=0\vee (x>0\wedge y=0)\rbrace\] Die Menge \(A_2\) sollte punktsymmetrisch zum Nullpunkt und achsensymmetrisch zu beiden Koordinatenachsen sein. Die untere Schranke in der Mengendefinition führt ja auf die Ungleichung \(|y|\le |x|\). Diese Menge enthält alle Punkte, die zwischen der Einheitshyperbel und ihren Asymptoten liegen, wobei die Asymptoten Teil der Menge sind, die Hyperbeläste jedoch nicht. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Abercus
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-25

Danke für die Klärung. Für den Rand von \(A_{1}\) wollte ich das schreiben, was du geschrieben hast: also alle Punkte (0,y) sowie (x,0) für x>0. Bzgl. \(A_{2}\) ist der Rand, wenn ich es richtig verstanden habe, die Menge der Punkte, die die Gleichung der Einheitshyperbel: \(x^2-y^2=1\)erfüllen, plus die Punkte, die auf den Asymptoten liegen: \(|x|=|y|\). Damit wäre der Rand von \(A_{2}\): {(x,y)||x|=|y| od. x^2-y^2=1} Grüße Abercus


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-08-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, ja, jetzt passt es. Wenn man die einzelnen geometrischen Objekte auseinanderhalten möchte wäre eventuell folgendes schöner: \[\partial A_2=\lbrace (x,y)\ \big|\ x^2-y^2=1\vee y=x \vee y=-x \rbrace\] Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Abercus
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-25

Danke für die Hilfe Grüße, Aberucs


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