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Mathematik » Topologie » Parabel induziert Topologie
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Universität/Hochschule Parabel induziert Topologie
Abercus
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  Themenstart: 2021-08-27

Hallo! Ich beschäftige mich gerade mit der folgenden Aufgabe: Beschreiben Sie die offenen Mengen der Topologie auf \(\mathbb{R}\), welche von der Abbildung: \(x^2:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) induziert wird. Die Definition: T = {\(f^{-1}\)U|U offen in Y} für \(f:X\rightarrow Y\)bildet eine topologische Struktur auf X, wobei X,Y topologische Räume (\(X \subset Y\)) sind und \(U\subset Y\) offene Umgebungen von Y. Die Umkehrabbildung von \(x^2\) ist \(\sqrt{x}\). Als Umgebungen von \(\mathbb{R}\) würde ich (0,1), (1,4), (4,9), ... (\((x-1)^2,x^2)\) verwenden. Dann erhalte ich mit \(f^{-1}\)(0,1), \(f^{-1}\)(1,4),... bereits eine topologische Struktur auf \(\mathbb{R}\). Ist dieser Ansatz korrekt?


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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-27

Hallo, \quoteon Die Umkehrabbildung von \(x^2\) ist \(\sqrt{x}\). \quoteoff Das hängt natürlich stark davon ab, auf welchem Definitionsbereich du die Parabel betrachtest. Ich glaube du verwechselst hier Urbild mit Umkehrfunktion, denn die Parabel ist in diesem Fall ja nicht bijektiv. Sie ist weder injektiv, noch surjektiv. Das ist unteranderem eine Übungsaufgabe aus "Grundkurs Topologie" von Laures und Szymik. Ich verstehe deinen Ansatz eigentlich nicht wirklich. Es ist vielleicht auch nicht so klar, was hier mit "beschreibe die Topologie" gemeint ist. Du musst auch nicht zeigen, dass hier eine Topologie vorliegt, was du ja aber auch nicht tust. Ich verstehe diesen Satz nicht so recht: \quoteon Dann erhalte ich mit \(f^{-1}\)(0,1), \(f^{-1}\)(1,4),... bereits eine topologische Struktur auf \(\mathbb{R}\). \quoteoff Ich habe die Aufgabe damals so verstanden, dass ich die verschiedenen Typen von offenen Mengen, die unter dieser Topologie entstehen können angegeben habe. Sind es Intervalle? Halboffen, offen, usw. Zum Beispiel ist $(0,1)$ eine offene Menge in $\mathbb{R}$. Wie sieht denn nun $f^{-1}(0,1)$ genau aus? Oder $f^{-1}(-1,5)$? Oder auch das Urbild von $\mathbb{R}$. Das könntest du ja mal untersuchen. Zum Beispiel sind grundsätzlich die (nicht trivialen) offenen Mengen bezüglich der Standardtopologie auf $\mathbb{R}$ ja offene Intervalle (oder Vereinigungen von offenen Intervallen). In diesem Fall wäre das also wohl eine Beschreibung.


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