| |
| Autor |
 Herleitung eines trigonometrischen Ausdrucks für ein rechtwinkliges Dreieck |
|
pavelle
Neu 
Dabei seit: 28.01.2012
Mitteilungen: 4
 |  Themenstart: 2021-09-01
|
Man hat ein rechtwinkliges Dreieck mit Ankathete a, Gegenkathete b und Hypotenuse c und Winkel alpha, der von Hypotenuse c und Ankathete a aufgespannt wird.
Wie leitet ich den folgenden Zusammenhang her?
c = a*cos(alpha) + b*sin(alpha) (1)
Den Beweis für den obigen Ausdruck ist nicht schwer, es gilt
b=c*sin(alpha) sowie a=c*cos(alpha)
Beides in Gleichung (1) eingesetzt liefert
c=c*(sin^2(alpha) + cos^2(alpha))
wobei sin^2(alpha) + cos^2(alpha) = 1
Vielen Dank für etwaige Hilfestellung!
|
 Profil
|
DerEinfaeltige
Senior 
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 3291
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-01
|
Betrachte die trigonometrischen Beziehungen in den zwei von der Höhe erzeugten Teildreiecken und berechne damit die Hypotenusenabschnitte.
|
Profil
|
pavelle
Neu
Dabei seit: 28.01.2012
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-01
|
\quoteon(2021-09-01 11:56 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 1)
Betrachte die trigonometrischen Beziehungen in den zwei von der Höhe erzeugten Teildreiecken und berechne damit die Hypotenusenabschnitte.
\quoteoff
So einfach, gleichzeitig so fern meiner Vorstellungskraft. Danke!
|
Profil
| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1324
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-01
|
\quoteon(2021-09-01 11:38 - pavelle im Themenstart)
Man hat ein rechtwinkliges Dreieck mit Ankathete a, Gegenkathete b und Hypotenuse c und Winkel alpha, der von Hypotenuse c und Ankathete a aufgespannt wird.
Wie leitet ich den folgenden Zusammenhang her?
c = a*cos(alpha) + b*sin(alpha) (1)
\quoteoff
In einem allgemeinen Dreieck gilt der Projektionssatz
$a = b\,\cos(\gamma) + c\,\cos(\beta)$
$b = c\,\cos(\alpha) + a\,\cos(\gamma)$
$c = a\,\cos(\beta) + b\,\cos(\alpha)$
und den entliest man folgender Skizze
$
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Dreieck/.style={thick},
]
\pgfmathsetmacro{\a}{3}
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5}
\pgfmathsetmacro{\c}{4}
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))}
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
% Seiten
\draw[thick] (B) -- (C) node[near end, right]{$$};
\path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$b$};
\path[] (A) -- (B) node[midway, below]{$c$};
% Höhen einzeichnen
\draw[] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{H_a}] (Ha);
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.1*\a cm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\cdot$"
] {angle =A--Ha--B};
\draw pic [angle radius=0.175*\a cm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\gamma$"
] {angle =A--C--B};
\draw pic [angle radius=0.175*\a cm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\beta$"
] {angle =C--B--A};
% Punkte
\foreach \P in {Ha}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\end{tikzpicture}
$
Im Falle des rechtwinkligen Dreiecks ist $\beta=\pi -\frac{\pi}{2} -\alpha$ und $\cos\left( \frac{\pi}{2} -x \right) =\sin(x)$ zu beachten.
|
Profil
|
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
