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Mathematik » Topologie » Bott Periodizität aus Periodizität von K-Theorie
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Universität/Hochschule J Bott Periodizität aus Periodizität von K-Theorie
cybran01
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  Themenstart: 2021-09-01

Hallo, für die reduzierte K-Theorie gibt es den natürlichen Isomorphismus \(\widetilde{K}(X)\cong\widetilde{K}(\Sigma^2 X)\) für alle wohlpunktierten kompakten Hausdorffräume \(X\). In Algebraic Topology from a Homotopical Viewpoint Seite 207 wird behauptet, dass man bereits aus diesem Isomorphismus die Existenz einer Homotopieäquivalenz \(BU\times\mathbb{Z}\to\Omega^2(BU\times\mathbb{Z})\) zeigen kann. Im Buch wird der natürliche Isomorphismus \(\widetilde{K}(X)\cong[X,BU\times\mathbb{Z}]_*\) vorher gezeigt, also denke ich dass hier eine kreative Version von Yoneda gefragt ist. Direkt ist das Yonedalemma hier nicht anwendbar, da \([X,BU\times\mathbb{Z}]_*\) nicht repräsentierbar ist in der Kategorie aller wohlpunktierten kompakten Hausdorffräume. Da ich hauptsächlich an CW-Komplexen interessiert bin, stelle ich mal die Frage in den Raum: Folgt aus \([X,BU\times\mathbb{Z}]_*\cong[X,\Omega^2(BU\times\mathbb{Z})]_*\) für alle endlichen punktierten CW-Komplexe \(X\) bereits der Iso für alle punktierten CW-Komplexe?


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-02

Wichtig ist hier, dass bereits eine Abbildung $BU \times \IZ \to \Omega^2(BU \times \IZ)$ vorliegt. Sie ist wegen des kompakten Falls eine schwache Homotopieäquivalenz, nach Whiteheads Theorem also eine Homotopieäquvalenz.


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cybran01
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-02

Verstehe, also geht das nicht mit Yoneda (zumindest scheint das Buch es doch nicht so zu meinen). Dankf für die Erklärung!


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cybran01 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
cybran01 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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