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Mathematik » Strukturen und Algebra » Chern-Klassen und Nullstellen von Vektorbündelschnitten (Intuition)
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Universität/Hochschule Chern-Klassen und Nullstellen von Vektorbündelschnitten (Intuition)
KarlRuprecht
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  Themenstart: 2021-09-02

Guten Abend, ich habe eine Frage zur folgenden Bemerkung, die ich auf der Wiki-Seite zu Chernklassen gefunden habe und die scheinbar eine sehr interessante geometrisch anschauliche Intuition hinter abstrakt difinierten Chern-Klassen liefern könnte. Es heißt dort: "Vom gewählten Zugang unabhängig ist die intuitive Bedeutung einer Chernklasse die von 'benötigten Nullstellen' eines Vektorbündelschnittes: Zum Beispiel die Aussage, dass man einen Igel nicht kämmen kann. Auch wenn dies eigentlich eine Frage betreffend reelle Vektorbündel ist (die "Stacheln" des Igels sind reelle Geraden), gibt es Verallgemeinerungen, in denen die Stachel komplex sind, oder für den eindimensionalen projektiven Raum über anderen Körpern. " Kann jemand erörtern wie genau die Phrase "ist die intuitive Bedeutung einer Chernklasse die von 'benötigten Nullstellen' eines Vektorbündelschnittes" zu verstehen ist? Mir gehts hier nur um Intuition; Anschließend wird auf den bekannten Satz vom Igel verwiesen, dass es einen Schnitt $S^n \to TS^n$ gibt, der in keinem Punkt auf $S^n$ verschwindet (naiv gesprochen "keine Nullstelle hat"), genau dann, wenn $n$ ungerade. Aber wie korrelieren damit die Chern-Klassen? Chern-Klassen einer komplexen Mannigfaltigkeit leben als solche per Definition in De Rham-Kohomologiegruppen $H^{2k}_{dR}(M; \mathbb{C})$. Wie können sie per se Informationen darüber tragen, ob Schnitte zu gewissen Bündeln $VB \to M$ bestimmte Anzahl von Nullstellen aufweisen ? Betrachte zB $M = \mathbb{CP}^1 \cong S^2$. Also sagt der Igel, dass jeder Schnitt $\mathbb{CP}^1 \to T\mathbb{CP}^1$ in irgendeinem Punkt verschwinden muss. Inwiefern reflektieren die die Chern-Klassen von $\mathbb{CP}^1$? (oder allgemeiner für $\mathbb{CP}^n$)


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kurtg
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-03

Hallo, schau mal [Fulton, Intersection Theory, Example 3.2.16] (dort in der algebraischen Geometrie): $X$ rein $n$-dimensional, $\mathscr{E}$ ein Vektorbündel vom Rang $r$ auf $X$, $Z$ die Nullstellenmenge eines regulären Schnittes von $\mathscr{E}/X$. Dann ist $Z$ rein $(n-r)$-dimensional und $c_r(\mathscr{E}) \cap [X] = [Z]$. Wenn $Z = \emptyset$, $c_r(\mathscr{E}) = 0$. (S)ehr anschaulich auch in Gathmann https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002.pdf Proposition 10.3.12, Remark 10.3.14 (dort auch die Referenz auf §14 in Fulton, was passiert, wenn man nicht die Top-Chernklasse hat).


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KarlRuprecht
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-03

Danke dir, das ist genau das was ich gesucht habe, obwohl ich mich zunächst auf die Situation aus Differentialtopologie konzentieren wollte. Allerdings ist es schon mal beruhigend das sich das alles in algebraiche Welt "übertragen lässt". Ich nehme an, dass es dann in der topogischen Welt genauso funktioniert wie man es "erwarten" würde, wenn wir mit DeRam-Koho ausgestattet mit natürlichem Cup-Produkt (https://de.wikipedia.org/wiki/Cup-Produkt#De-Rham-Kohomologie), anstatt Chow Gruppen arbeiten würden. Insbesondere im folgendem Spezialfall: Sei $M$ eine komplexe $n$-dimnle Mannigfaltigkeit und $TM$ das Tangentialbündel, und $s: M \to TM$ ein generischer Schnitt (hier muss man vielleicht genauer eingrenzen, was man unter "generisch" in diesem Kontext meint), dann ist $c(TM) \cup [M]^{\vee}= [V(s)] = (\#V(s)) \cdot [p] \in H^n_{dR}(M)$ wobei $[M]^{\vee}$ Poincaare-Dual die Fundamentalklasse zu $M$ sei, $\#V(s)$ die Anzahl der Nullstellen von $s$ und $[p]$ die Erzeugerklasse von $H^n_{dR}(M)$ ist. Ergibt das Sinn?


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kurtg
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-03

Ergibt Sinn. Für die komplexen Mannigfaltigkeiten, die Analytifizierungen von (zur Sicherheit glatten, projektiven) $\mathbf{C}$-Varietäten sind, folgt das aus dem von Fulton über die Zykelklassenabbildung von Chowgruppen in Weilkohomologietheorien wie de-Rham-Kohomologie. (In Chowgruppen rechnet man "universell".)


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KarlRuprecht
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-03

Verstehe vermutlich. Also das geht dann in Hinblick auf die Philosophie in Richtung der Motive, also man möchte zwischen der Varietät & und ihren Untervarietäten (bzw allgemeiner der Unterategorie der $C$-Varietäten, die ein Paar wichtige Voraussetzungen erfüllen) und beliebiger Weilkohomologie eine Art Zwischenkategorie haben, wo man nach Möglichkeit schon alle Rechnungen durchführen kann, die in allen Weilkohomologien durchführbar sind (Existenz einer "Multiplikation" bzw Cup-Produkt, "Künneth-Formel", etc). Das meinst du mit "universell", oder?


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
kurtg
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-09-03

Genau. Bei der klassischen Konstruktion der Kategorien von (reinen = glatt, projektiv) Motiven bezüglich verschiedener Äquivalenzrelationen ~ \in {rat, alg, hom_H, num}: von der feinsten zur gröbsten, wie man sie bei Kleiman oder Manin findet, sind die Chowmotive die bezüglich rationaler Äquivalenz. Nach einer der Standardvermutungen ist homologische Äquivalenz bezüglich jeder Weilkohomologietheorie H äquivalent zur numerischen Äquivalenz (die gröbste), und dann wären numerische Motive die universelle Weilkohomologie/"die" Kategorie der Motive, aber diese sind weit offen.


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