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Mathematik » Strukturen und Algebra » Normale Körpererweiterung
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Universität/Hochschule J Normale Körpererweiterung
P_kl_1999
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  Themenstart: 2021-09-03

Hallo, wir haben folgenden Satz in der Uni durchgenommen. Seien $k \subseteq K \subseteq \overline{k}$ algebraischen Körpererweiterungen. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: \begin{enumerate}[label=(\roman*)] \item $k \subseteq K$ ist normal \item $K$ ist ein Zerfällungskörper einer Menge von Polynomen über $k$. \item Für jeden $k$-Homomorphismus $ : \varphi \; K \rightarrow \overline{k}$ gilt $\varphi (K) \subseteq K$ \end{enumerate} Ich hätte eine Frage zum Beweis: $(ii) \Rightarrow (iii)$: Sei $K$ der Zerfällungskörper von $(p_i)_{i \in I}$ mit $p_i \in k[x]$ und $ : \varphi \; K \rightarrow \overline{k}$ ein $k$-Homomorphismus. Für eine Nullstelle $a \in K $ eines Polynoms $p_i$ gilt, \[ 0 = \varphi(0) = \varphi(p_i(a))=p_i(\varphi(a)) \] da $\varphi$ ein $k$-Homomorphismus ist. $\varphi(a)$ in $\overline{k}$, da $\varphi(a)$ eine Nullstelle von $p_i$ ist. Diese Nullstellen erzeugen gerade $K$, also ist $\varphi(K) \subseteq K$. Wodurch ergeben sich die Gleichheiten, also warum ist \[ 0 = \varphi(0) = \varphi(p_i(a))=p_i(\varphi(a)) \] Danke schonmal.


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\) Hallo P_kl_1999, Die erste Gleichung gilt, weil Homomorphismen die Null immer auf Null abbilden. Die zweite gilt, weil ja $a$ eine Nullstelle von $p_i$ ist, also $0=p_i(a)$. Die dritte Gleichung gilt grundsätzlich für Polynome: Ist $p\in k[T]$, so ist $\varphi(p(x))=p(\varphi(x))$ für alle $k$-Homomorphismen $\varphi$. Das ist eigentlich, was $k$-Homomorphismen tun sollen: Sie erhalten Polynomgleichungen mit Koeffizienten aus $k$. Dass sie das wirklich tun, kann man auch leicht nachprüfen: $$\varphi\left(\sum_{k=0}^n a_k x^k\right)=\sum_{k=0}^n\varphi\left(a_k x^k\right)=\sum_{k=0}^n\varphi(a_k)\varphi\left(x^k\right)=\sum_{k=0}^n a_k\varphi(x)^k,$$ wenn $a_k\in k$ und $\varphi$ ein $k$-Homomorphismus ist. Viele Grüße Vercassivelaunos\(\endgroup\)


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P_kl_1999
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-03

Super danke fürs ausführliche erklären :).


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P_kl_1999 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
P_kl_1999 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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