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  Möbiustransformationen bestimmen |
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dvdlly
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 28.12.2016
Mitteilungen: 288
 |  Themenstart: 2021-09-05
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Hallo,
Sei \(H^2 = \{z \in \mathbb{C} \mid Im(z) > 0 \}\) die obere Halbebene, \(a = i\) \(b = i+1\) zwei Punkte.Nun soll folgendes gemacht werden:
(1) Bestimme alle \(A \in SL_{2}(\mathbb{R})\) mit \(T_A(a) = a\) wobei \(T_A(z)\) die Möbiustransformation ist.
(2) Bestimme alle \(A \in SL_{2}(\mathbb{R})\) mit \(T_A(a) = a\) und \(T_A(b) = c \cdot i\) für \(c \in \mathbb{R}\)
Ich bin bei (1) auf Matrizen der Form \(\begin{bmatrix}
a & b \\
-b & a \\
\end{bmatrix}\) gekommen mit \(a^2 + b^2 = 1\) und bei (2) komme ich nach ein bisschen Algebra auf eine null-Matrix aber das kann ja nicht sein. Kann jemand vielleicht einen Lösungsvorschlag posten? Danke!
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SergejGleitman
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 13.11.2019
Mitteilungen: 65
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\)
Moin dvdlly,
bei (1) liegst du richtig. Die Isometrien der oberen Halbebene, die genau einen Fixpunkt im Inneren besitzen, heißen übrigens elliptisch. Die Matrix und die Zusatzbedingung kommt dir vielleicht bekannt vor, dann kann man $a$ und $b$ auch noch durch andere Ausdrücke ersetzen, die nur von einer Variable abhängen (Tipp: Winkelfunktionen).
Zu (2): elliptische Isometrien, der oberen Halbebene sind quasi "Drehungen" in der Hyperbolischen Ebene. Wenn du dir das ganze Euklidisch vorstellst, dann gibt es nur zwei Möglichkeiten für eine Drehung, die die gestellten Anforderungen erfüllt (nämlich nur für ganz bestimmte $c\in\R$). Vielleicht liegt es daran, dass die Nullmatrix herauskommt?
Wenn du die Lösung aus (1) so umbaust, dass Winkel darin auftauchen und sich eine Art Drehmatrix ergibt, brauchst du nur noch die beiden möglichen Drehwinkel (die sollten aus der Euklidischen Anschauung klar werden) einsetzen und du erhälst die geforderten Matrizen. (Achtung hierbei, der Drehwinkel entspricht dem einzusetzenden Winkel nur bis auf Vorfaktor.)
LG Serj\(\endgroup\)
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dvdlly
Wenig Aktiv
Dabei seit: 28.12.2016
Mitteilungen: 288
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-26
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