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Schulmathematik » Terme und (Un-) Gleichungen » einfache Umformung: 1/(x+y) ≤ 1/x + 1/y
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Schule einfache Umformung: 1/(x+y) ≤ 1/x + 1/y
lilly2108
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Dabei seit: 03.05.2021
Mitteilungen: 30
  Themenstart: 2021-09-09

Hallo ihr Lieben, Ich hätte eine kurze Frage: Ist für jedes $x,y$ richtig, dass $\frac{1}{x+y}\leq\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ ? Vielen Dank!


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LetsLearnTogether
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.06.2021
Mitteilungen: 59
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-09

Hallo, für "jedes" x,y ist es nicht richtig, weil der Ausdruck ja für $x,y=0$ und $x=-y$ nicht definiert ist. Ansonsten kannst du diese Ungleichung über elementare Umformungen beweisen, oder eben nicht. Probiere das vielleicht mal. Dabei ist auf Fallunterscheidung zu achten. Denn bei Multiplikation mit negativen Werten dreht sich das Ungleichheitszeichen $\leq$ um.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7796
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-09-09

Hallo, forme doch einmal ein wenig um oder suche nach einfachen Gegenbeispielen. Dabei wird schnell klar, dass die Ungleichung jedenfalls für positive reelle Zahlen x,y stimmt. Für negative Werte gibt es wie gesagt Gegenbeispiele. Sind beide Werte negativ, dann kann es ja schon aus Symmetriegründen nicht passen. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.] [Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Terme und (Un-) Gleichungen' von Diophant]


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