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Lineare Algebra » Vektorräume » dim von V = span {7,e^t,e^(2t),e^(-3t)}?
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Universität/Hochschule dim von V = span {7,e^t,e^(2t),e^(-3t)}?
ghxk
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  Themenstart: 2021-09-10

Hallo zusammen Könnte mir jemand sagen, welche Dimension der VR V=span{7,e^t,e^(2t),e^(-3t)} hat und wie ich dies beweisen kann. Normalerweise hätte ich gesagt, dass dim(V)=4 Wenn ich allerdings für t=0 wählen darf, dann liegt 7 im span von {e^t,e^(2t),e^(-3t)}, oder?


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, es geht ja um Funktionen als ganzes. Insofern sind die Funktionswerte an der Stelle \(t=0\) hier irrelevant und \(\dim(V)=4\) ist richtig. Stichwort: lineare Unabhängigkeit. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Vektorräume' von Diophant]\(\endgroup\)


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ghxk
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-10

Ich hätte das eben auch gesagt eigentlich. Eine weitere Teilaufgabe besagt aber, dass man zeigen soll, dass \phi:W->W gegeben durch f -> 3f+f'+f(0) ein Endomorphismus ist. Linearität ist klar, wenn ich aber beweisen will, dass die Abbildung von W->W geht, und ein v\el\ W wähle mit v=C1exp(t)+C2exp(2t)+C3(exp(-3t))+7C4 wähle und dann f(v) berechne, dann stelle ich fest, dass der Term mit exp(-3t) wegfällt, womit f(v) nicht in W liegen würde....Kann mir jemand erklären, was das Problem ist?


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, könntest du bitte die Aufgabe im Originalwortlaut angeben. Sowohl \(W\) als auch \(f\) fallen hier vom Himmel. (Außerdem scheint dir nicht klar zu sein, was ein Endomorphismus ist.) Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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ghxk
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-10

Ja sorry, das V im ersten Beitrag entspricht W im zweiten und phi ist gleich f. Der Wortlaut ist: Sei W=span{7,e^t,e^2t,e^-3t} der lineare unterraum der reellwertigen differenzierbaren Funktionen. Es sei phi:W->W gegeben durch f->3f+f'+f(0) Aufgabe: Bestimmen Sie die Dimension von W und beweisen Sie dass die Abbildung phi ein Endomorphismus von W ist.


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-09-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, da fehlt immer noch das eine oder andere. Kann es sein, dass irgendwo \(f\in W\) oder etwas in der Art gefordert wird? Das macht doch ansonsten keinen Sinn, denn für eine beliebige differenzierbare Funktion liegt weder die Funktion noch \(\varphi\) in \(W\). Wenn ich recht habe, dan benötigt man hier nicht mehr als \(f(0)\) und die erste Ableitung der e-Funktion... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Wally
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-09-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo ghxk, um die Dimension auszurechnen, kannst du beweisen., das die vier Funktionen linear unabhängig sind. Annahme: \( \lambda_1 e^{2t}+\lambda_2 e^t +\lambda_7\cdot 7+\lambda_4 e^{-3t}=0\). Ist dir klar, dass die \( \lambda\)-Werte unabhängig von \( t\) sein müssen? Wenn ja, weise durch eine Grenzwertbetrachtung nach, dass \( \lambda_1=0\) ist. Kommst du damit weiter? Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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