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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Relatives Spektrum, Reduktion auf affinen Fall
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Universität/Hochschule Relatives Spektrum, Reduktion auf affinen Fall
Fuchsi
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Mitteilungen: 16
  Themenstart: 2021-09-11

Hallo, ich versuche gerade das relative Spektrum einer quasikohärenten Garbe zu verstehen, ich komme aber bei der Reduktion auf den affinen Fall nicht weiter. \(\textbf{Görtz, Wedhorn 11.1}\) Sei \(X\) ein Schema und \(\mathscr{R}\) eine quasikohärente \(\mathcal{O}_X\)-Algebra. Dann existiert ein \(X\)-Schema \(\underline{\operatorname{Spec}_X}(\mathscr{R})\), so dass für alle \(X\)-Schemata \(f\colon T\to X\) eine Bijektion, funktoriell in \(T\), \[\operatorname{Hom}_X(T,\underline{\operatorname{Spec}_X}(\mathscr{R}))\overset{\cong}{\longrightarrow}\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X-\text{alg}}(\mathscr{R},f_{\ast}\mathcal{O}_T)\] existiert. In anderen Worten: \(\underline{\operatorname{Spec}_X}(\mathscr{R})\) repräsentiert den Funktor \[(\textbf{Sch}/X)^{\operatorname{op}}\to\textbf{Set}, (f\colon T\to X)\mapsto\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X-\text{alg}}(\mathscr{R},f_{\ast}\mathcal{O}_T).\] Auf math stackexchange habe ich eine Beweisskizze gefunden: https://math.stackexchange.com/a/3971071 Sei \(X=\bigcup_{i\in I}U_i\) eine affin offene Überdeckung und \(g\colon S\to X\) ein beliebiges \(X\)-Schema. Sei \(\phi\in F(S)\). Für \((\eta,h)\in (F_i\times_F h_S)(T)\) gilt dann \(g\circ h=f\) und \[(\iota_{U_i})_{\ast}(\eta)\circ\alpha_i=g_{\ast}(h^{\#})\circ\phi,\] wobei \(\iota_{U_i}\colon U_i\to X\) die kanonische Einbettung und \(\alpha_i\colon\mathscr{R}\to (\iota_{U_i})_{\ast}\mathscr{R}|_{U_i} \) ist. Der Morphismus \(h\) faktorisiert genau dann als \(T\to V_i\to S\), wenn \(f\) als \(T\to U_i\to X\) faktorisiert. Dabei ist \(V_i=g^{-1}(U_i)\). Ich verstehe aber am Ende zwei Schritte nicht: 1. Der Morphismus \(V_i\to U_i\) induziert einen Morphismus \(h_{V_i}\to F_i\). Wie ist dieser definiert? 2. Es wird behauptet, dass der induzierte Morphismus \(h_{V_i}\to F_i\times_F h_S\) ein Isomorphismus ist, da beide die gleiche universelle Eigenschaft erfüllen. Wie zeigt man sowas? Vielen Dank schon mal!


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Fuchsi
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-14

Mir ist eine neue Idee gekommen: Sei \[ F_i(-) = \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{U_i}}(\mathscr{R}|_{U_i}, -). \] Es gilt \[\iota_{U_i}^{\ast}\mathscr{R} = \mathcal{O}_{X|U_i}\otimes_{\iota_{U_i}^{-1}\mathcal{O}_{X}}\iota_{U_i}^{-1}\mathscr{R} = \mathcal{O}_{X|U_i}\otimes_{\mathcal{O}_{X|U_i}} \mathscr{R}|_{U_i}\cong \mathscr{R}|_{U_i}\] und damit dann \[ F(V_i) = \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathscr{R}, (\iota_{U_i}\circ g)_{\ast}\mathcal{O}_{V_i}) = \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{\mathscr{R}}, \iota_{U_i,\ast}(g_{\ast}\mathcal{O}_{V_i}))\\ \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\iota_{U_i}^{\ast}\mathscr{R}, g_{\ast}\mathcal{O}_{V_i}) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathscr{R}|_{U_i}, g_{\ast}\mathcal{O}_{V_i}) = F_i(V_i). \] Somit gilt \(\phi|_{V_i}\in F(V_i)\cong F_i(V_i)\cong\operatorname{Hom}(h_{V_i},F_i)\). Ich weiß aber nicht, wie ich das Bild von \(\phi_{V_i}\) unter dem ersten Isomorphismus konkret bestimmen kann. Ohne die konkrete Beschreibung weiß ich nicht wie ich nachprüfen kann, ob diese natürliche Transformation in das Diagramm des Faserproduktes passt, so dass man durch die universelle Eigenschaft eine natürliche Transformation \(h_{V_i}\to F_i\times_F h_S\) erhält. Kann mir jemand sagen, ob diese Idee zielführend ist?


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