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Universität/Hochschule Absorption eines Plasma eines elektronischen Übergangs
xquad
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  Themenstart: 2021-09-12 22:58

Hallo, ich habe eine Verständnisfrage im Bezug auf die Absorption eines atomaren Übergangs eines Ions. Angenommen es liegt ein Plasma mit Temperatur T und Druck p vor bestehend aus nur einer Sorte von Ionen: aus HE I - Ionen die nur bei 267.7135nm absorbieren: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53900_atomic_transition.PNG von NIST Atomic Spectra Database Lines Data hier Wie viel Prozent nimmt nun die Intensität eines einfallenden Laserstrahls mit einer Zentralwellenlänge von 267.7135nm ab wenn dieser ein sphärisch ausgedehntes Plasma mit einem Durchmesser von 1000\( \mu \)m bestrahlt? Ansatz: Lambert Beer: \(I(d) = I_0 e^{-k d}\) Absorptionskoeffizient: \(\kappa' = \frac{h \nu}{4 \pi}(n_1 B_{12} - n_2 B_{21})\) wobei \(\kappa' dx = \kappa\) hier Verhältnis Absorptionskoeffizienten: \(A_{21}/B_{21} = \frac{2 h \nu^3}{c^3}\) hier \(B_{12} = B_{21}\) Daraus folgt für den Absorptionskoeffizienten: \(\kappa' = \frac{h \nu}{4 \pi}(n_1 \frac{A_{21}c^3}{2h\nu^3} - n_2 \frac{A_{21}c^3}{2h\nu^3}))\) mit der Dimension: \(1/s^2\) Soll da jetzt einfach eine Funktion für eine Spektrale Liniendichte dran multipliziert werden für welche die Einheit \(s^2\) angenommen werden kann? hier


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-13 20:16

Moin xquad, die Beziehung \quoteon(2021-09-12 22:58 - xquad im Themenstart) \(\kappa' = \frac{h \nu}{4 \pi}(n_1 B_{12} - n_2 B_{21})\) wobei \(\kappa' dx = \kappa\) \quoteoff stimmt so nicht ganz, da noch das Linienprofil $\varphi_{21}(\nu)$ (siehe unten) aufmultipliziert werden muss. Außerdem verwendet man diese Beziehung für die Beschreibung von isotropen Strahlungsfeldern (vgl. z.B. hier; beachte, dass die dortigen Einstein-$B$-Koeffizienten $B'_{ij}$ mit den hiesigen aufgrunde einer abweichenden Definition über $B_{ij}' = B_{ij}/c$ verknüpft sind). Da wir einen gerichteten Laserstrahl vorliegen haben, brauchen wir eine etwas andere Beschreibung. Ich würde dir folgendes Modell vorschlagen: Nehmen wir gleich mal vereinfachend an, dass sich die Ionen nur in den im Übergang involvierten elektronischen Zuständen $1$ und $2$ befinden können und betrachten wir die Situation im stationären Zustand. Bezeichne dann $n_i$ die Anzahldichte der Ionen im Zustand $i$ für $i = 1,2$, die man in erster Näherung (wenn sich das Vorhandensein des Laserstrahls auf die Verteilung der Ionen auf die Zustände $1$ und $2$ nur vernachlässigbar auswirkt) als räumlich konstant annehmen kann. Sei außerdem $x$ die Position entlang der Laufrichtung des Laserstrahls, der bei $x = 0$ in das Plasma eintritt und bei $x = d$ ebenjenes verlässt. Bezeichne weiter $\rho_{\nu}(x,\nu)$ bzw. $I_{\nu}(x,\nu)$ die spektrale Energie- bzw. Intensitätsdichte des Laserstrahls, wobei bekannterweise $\rho_{\nu}(x,\nu) = I_{\nu}(x,\nu)/c$ gilt. Sei außerdem $\varphi_{21}(\nu)$ das Linienprofil des infrage stehenden Übergangs, d.h. dass $\varphi_{21}(\nu) \, d\nu$ die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Photon mit Frequenz in $[\nu,\nu+d\nu]$ absorbiert bzw. emittiert wird. Dann gilt mit den Einstein-Koeffizienten für die Absorption bzw. induzierte Emission: \[\left(\frac{d n_1}{dt}\right)_{\text{Absorption}}(\nu) \, d\nu = -B_{12} n_1 \rho_{\nu}(x,\nu) \varphi_{21}(\nu) \, d\nu, \\ \left(\frac{d n_1}{dt}\right)_{\text{induzierte Emission}}(\nu) d\nu = B_{21} n_2 \rho_{\nu}(x,\nu) \varphi_{21}(\nu) \, d\nu. \tag{1}\] Betrachten wir nun speziell die Frequenzkomponente $\nu$. In der Zeit $dt$ gehen dem Strahl in einem infinitesimalen Volumenelement an einer Stelle $x$ mit Querschnittsfläche $dA$ orthogonal zur Strahlrichtung und mit Ausdehnung $dx$ in Strahlrichtung $\frac{dI_{\nu}(x,\nu) \, d\nu \, dA \, dt}{h \nu}$ Photonen verloren. Andererseits ist diese Anzahl nach $(1)$ auch gleich \[\left[\left(\frac{d n_1}{dt}\right)_{\text{Absorption}}(\nu) +\left(\frac{d n_1}{dt}\right)_{\text{induzierte Emission}}(\nu)\right] \, d\nu \, dA \, dx \, dt = \\ = (-B_{12} n_1+B_{21} n_2) \rho_{\nu}(x,\nu) \varphi_{21}(\nu) \, d\nu \, dA \, dx \, dt = \\ = (-B_{12} n_1+B_{21} n_2) \frac{I_{\nu}(x,\nu)}{c} \varphi_{21}(\nu) \, d\nu \, dA \, dx \, dt.\] Setzt man das gleich, kürzt und beachtet, dass hier (mit dem Entartungsgrad $g_i$ des Zustands $i$ und der Übergangsfrequenz $\nu_{21}$) $\frac{g_1}{g_2} B_{12} = B_{21} = \frac{c^3}{2h\nu_{21}^3} A_{21}$ gilt, so hat man \[\frac{dI_{\nu}(x,\nu) \, d\nu \, dA \, dt}{h \nu} = (-B_{12} n_1+B_{21} n_2) \frac{I_{\nu}(x,\nu)}{c} \varphi_{21}(\nu) \, d\nu \, dA \, dx \, dt \implies \\ \implies \frac{dI_{\nu}(x,\nu)}{I_{\nu}(x,\nu)} = -\frac{c^2 \nu A_{21}}{2\nu_{21}^3} \varphi_{21}(\nu) \left(\frac{g_2}{g_1}n_1-n_2\right) \, dx.\] Es ist also der frequenzabhängige Absorptionskoeffizient (unter Beachtung der Tatsache, dass $\varphi_{21}(\nu)$ i.A. nur für Frequenzen nahe $\nu_{21}$ signifikant von null verschieden ist) \[\kappa(\nu) = \frac{c^2 \nu A_{21}}{2\nu_{21}^3} \varphi_{21}(\nu) \left(\frac{g_2}{g_1}n_1-n_2\right) \approx \frac{c^2 A_{21}}{2\nu_{21}^2} \varphi_{21}(\nu) \left(\frac{g_2}{g_1}n_1-n_2\right).\] Wenn du nun noch beachtest, dass in der Näherung des idealen Gases \[n_1+n_2 = n = \frac{p}{k_{\text{B}}T} \quad \text{und} \quad \frac{n_2}{n_1} = \frac{g_2}{g_1} e^{-\frac{h\nu_{21}}{k_{\text{B}}T}}\] gilt, so kannst du $\kappa(\nu)$ durch die gegebenen Größen ausdrücken. Die transmittierte Intensität ist dann bei der Frequenz $\nu$ durch das Gesetz von Lambert-Beer gegeben: \[I_{\nu}(d,\nu) = I_{\nu}(0,\nu) e^{-\kappa(\nu)d}.\] Der relative Intensitätsverlust ist damit \[\frac{\int_0^{\infty} I_{\nu}(d,\nu) \, d\nu}{\int_0^{\infty} I_{\nu}(0,\nu) \, d\nu} = \frac{\int_0^{\infty} I_{\nu}(0,\nu) e^{-\kappa(\nu)d} \, d\nu}{\int_0^{\infty} I_{\nu}(0,\nu) \, d\nu}. \tag{2}\] Idealisiert besteht der Laserstrahl nur aus der Zentralfrequenz, die mit der Übergangsfrequenz übereinstimmt. In diesem Fall gilt $I_{\nu}(0,\nu) = I_0 \delta(\nu-\nu_{21})$ und du kannst den Ausdruck in $(2)$ leicht explizit auswerten. LG, semasch Edit 1: Entartungsgrade ergänzt. Edit 2: Linienprofil ergänzt.


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xquad
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-13 23:19

Vielen Dank für diese sehr aufschlussreiche Antwort! Ich habe ein par weitere Verständnisfragen. Dieses von dir beschriebene Model betrachtet eine ja eine Anzahl von Ionen \(N\) im idealisierten Laserstrahl. #1 (räumliche Laserstrahlmodifikation) Angenommen der Laserstrahl hat nun eine räumliche Halbwertsbreite \(F_{Laser}\) welche sehr viel kleiner ist als der Durchmesser der kugelförmigen Plasmaausdehnung \(F_{Laser}<


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semasch
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-14 15:57

Moin xquad, ich habe meinen obigen Beitrag nochmals ergänzt/korrigiert; es wäre gut, wenn du ihn dir nochmals ansiehst. Auf deine Fragen 1 und 2 kann ich später heute noch eingehen, jetzt gerade fehlt mir die Zeit dafür. Was deine Frage zur Dopplerverbreiterung angeht, da kannst du allgemeiner in der Zwischenzeit im oben verlinkten Dokument über Mechanismen, die das Linienprofil $\varphi_{21}$ bestimmen, nachlesen. Insbesondere die ersten drei dort diskutierten (natürliche, Stoß- und Dopplerverbreiterung) dürften für deinen Fall relevant sein. Wenn du dann noch Fragen dazu hast, kannst du die gerne noch stellen. LG, semasch


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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-09-14 20:44

So, noch zu deinen ersten beiden Fragen aus Beitrag #2: Antwort zu #1: Wählen wir ein kartesisches Koordinatensystem so, dass die $y,z$-Ebene senkrecht zur Strahlrichtung liegt, die $x$-Achse in Strahlrichtung zeigt und der Ursprung so liegt, dass die Ebene $x = 0$ tangential zur Plasmakugel auf der laserseitigen Seite ist. Ich nehme mal an, dass der Laser das Plasma zentral bescheint. Wenn du meine Herleitung noch mal durchgehst, siehst du, dass diese für einen infinitesimal breiten Teilstrahl des Gesamtstrahls durchgeführt wurde. Sie gilt also auch dann, wenn $I_{\nu}$ nicht nur von $x,\nu$, sondern auch von $y,z$ abhängt. Man hat damit \[\frac{dI_{\nu}(x,y,z,\nu)}{I_{\nu}(x,y,z,\nu)} = -\kappa(\nu) dx.\] Der Teilstrahl an der Position $(y,z)$ senkrecht zur Strahlrichtung tritt dabei an der Stelle $x_1(y,z)$ in das Plasma ein und an der Stelle $x_2(y,z)$ aus. Überlege dir, wie die Funktionen $x_1,x_2$ für die gegebene Geometrie aussehen. Damit gilt dann für die relative transmittierte Intensität dieses Teilstrahls (die man dann für alle $(y,z)$ an der Stelle $x = d$ betrachten kann) \[\frac{I_{\nu}(d,y,z,\nu)}{I_{\nu}(0,y,z,\nu)} = e^{-\kappa(\nu)(x_2(y,z)-x_1(y,z))}. \tag{3}\] Die relative transmittierte frequenzintegrierte Intensität ist schließlich \[\frac{\int_0^{\infty} I_{\nu}(d,y,z,\nu) \, d\nu}{\int_0^{\infty} I_{\nu}(0,y,z,\nu) \, d\nu} = \frac{\int_0^{\infty} I_{\nu}(0,y,z,\nu) e^{-\kappa(\nu)(x_2(y,z)-x_1(y,z))} \, d\nu}{\int_0^{\infty} I_{\nu}(0,y,z,\nu) \, d\nu}. \tag{4}\] Antwort zu #2: Nehmen wir an, dass es endlich viele elektronische Zustände $1, 2, \ldots, k$ mit Energie $\epsilon_1 < \epsilon_2 < \ldots < \epsilon_k$ und Entartungen $g_1, g_2, \ldots, g_k$ für die Ionen gibt, die zu berücksichtigen sind. Für $i < j$ sei weiter $h\nu_{ji} = \epsilon_j - \epsilon_i > 0$. Nun gilt für $i = 1, \ldots, k$ für die Anzahldichte $n_i$ der Ionen im Zustand $i$ \[n_i = n \, \frac{g_i e^{-\frac{\epsilon_i}{k_{\text{B}}T}}}{Z}\] und $n_1+n_2+\ldots+n_k = n$ (Letzteres ist die Gesamtanzahldichte der Ionen). Damit sieht man, dass \[Z = \sum_{i = 1}^k g_i e^{-\frac{\epsilon_i}{k_{\text{B}}T}}\] und weiter \[n_i = n \, \frac{g_i}{g_i + \sum_{j = 1}^{i-1} g_j e^{\frac{h\nu_{ij}}{k_{\text{B}}T}} + \sum_{j = i+1}^k g_j e^{-\frac{h\nu_{ji}}{k_{\text{B}}T}}}\] gilt, wobei wieder $n = \frac{p}{k_{\text{B}}T}$ ist. Seien für $i < j$ zudem $A_{ji}, B_{ji}, B_{ij}$ die Einstein-Koeffizienten und $\varphi_{ji}(\nu)$ das Linienprofil zu dem Übergang $i \to j$. Überlege dir, indem du meine obige Herleitung nochmal verallgemeinerst, dass sich die Beiträge der verschiedenen Übergänge zum Absorptionskoeffizienten addieren. Mit \[\kappa_{ji}(\nu) = \frac{c^2 A_{ji}}{2\nu_{ji}^2} \varphi_{ji}(\nu) \left(\frac{g_j}{g_i} n_i - n_j\right)\] gilt schließlich \[\kappa(\nu) = \sum_{i < j} \kappa_{ji}(\nu).\] Mit diesem Ausdruck kannst du dann wieder in $(3)$ bzw. $(4)$ eingehen. LG, semasch


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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-15 19:30

Mit der Antwort hat wieder etwas Licht ins Dunkle gebracht! Jedoch habe ich zum Model mit dem infinitesimalen breiten Laserstrahl noch eine Frage. Das Dokument was du verlinkt hast und dein erster Betrag zur Herleitung des Absorptionskoeffizienten beinhalten eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (bzw. ~funktion) $\phi(\nu)$ für die Absorption von Photonen im Intervall $(\nu, \nu + \delta \nu)$. Kann diese Funktion bestimmt werden aus dem Spektrum des Laserpulses (z.B. Gaußfunktion) und dem Absorptionsspektrum der Linie (z.B. eine Cauchy-Verteilung), das sich durch verschiedenste Verbreitungsprozesse ergibt, bestimmt werden? Falls nein, wie kann die Funktion $\phi(\nu))$ bestimmt werden? Kannst du mir sagen, wo der Fehler in diesem Ansatz ist?: Angenommen die spektrale Linie bei 267.7135nm wird verbreitert und die Verbreitungsfunktion ist eine Cauchy Verteilung. $f_{Linie} = \frac{1}{\pi \gamma} \cdot \frac{\gamma^2}{(x-x_0)^2+\gamma^2}$ hier wobei $x_0$ die Zentralwellenlänge ist und $\gamma$ ein Parameter für die FWHM. und das Spektrum des Pulses ist gegeben durch eine Gaußfunktion: $f_{Spektrum} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}exp{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ hier Ist dann $\phi(\nu) = f_{Spektrum} * f_{Linie} $? Das Problem was ich bei der letzten Berechnungen hatte, ist das wenn ich die Cauchy-Verteilung zu klein ansetze, bei der Zentralwellenlänge der Peak über 1 hinausragt wenn die Funktion durch ihr Integral auf 1 normiert wird.


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semasch
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-09-16 01:39

\quoteon(2021-09-15 19:30 - xquad in Beitrag No. 5) Kann diese Funktion bestimmt werden aus dem Spektrum des Laserpulses (z.B. Gaußfunktion) und dem Absorptionsspektrum der Linie (z.B. eine Cauchy-Verteilung), das sich durch verschiedenste Verbreitungsprozesse ergibt, bestimmt werden? Falls nein, wie kann die Funktion $\phi(\nu))$ bestimmt werden? \quoteoff Das Linienprofil (bzw., wie du es in deinem Ursprungsbeitrag genannt hast, die spektrale Liniendichte) ist durch die elektronische Struktur der Ionen (natürliche Linienverbreiterung) und durch den Zustand, in dem sich das Ensemble, hier also das Plasma, befindet (Stoß- und Dopplerverbreiterung) bestimmt. Es ist von der einfallenden Strahlung unabhängig. Wie das Linienprofil bestimmt werden kann, wird im verlinkten Dokument behandelt (siehe auch unten). \quoteon(2021-09-15 19:30 - xquad in Beitrag No. 5) Kannst du mir sagen, wo der Fehler in diesem Ansatz ist?: Angenommen die spektrale Linie bei 267.7135nm wird verbreitert und die Verbreitungsfunktion ist eine Cauchy Verteilung. $f_{Linie} = \frac{1}{\pi \gamma} \cdot \frac{\gamma^2}{(x-x_0)^2+\gamma^2}$ hier wobei $x_0$ die Zentralwellenlänge ist und $\gamma$ ein Parameter für die FWHM. und das Spektrum des Pulses ist gegeben durch eine Gaußfunktion: $f_{Spektrum} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}exp{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ hier Ist dann $\phi(\nu) = f_{Spektrum} * f_{Linie} $? Das Problem was ich bei der letzten Berechnungen hatte, ist das wenn ich die Cauchy-Verteilung zu klein ansetze, bei der Zentralwellenlänge der Peak über 1 hinausragt wenn die Funktion durch ihr Integral auf 1 normiert wird. \quoteoff Wenn du nur die natürliche Linienverbreiterung berücksichtigst, dann hat das Linienprofil eines Übergangs $i \to j$ die Lorentz'sche Form \[\varphi_{ji}(\nu) = \frac{1}{\pi \gamma_{ji}} \frac{\gamma_{ji}^2}{(\nu-\nu_{ji})^2+\gamma_{ji}^2}.\] Dabei ist, wie im verlinkten Dokument beschrieben, \[\gamma_{ji} = \frac{1}{4\pi} \left(\sum_{k < i} A_{ik} + \sum_{k < j} A_{jk}\right).\] Die Dopplerverbreiterung kannst du dann durch die im verlinkten Dokument beschriebene Faltung mitberücksichtigen. Die spektralen Eigenschaften der Laserstrahlung gehen in die spektrale Intensitätsdichte $I_{\nu}$ ein. Wenn wir der Einfachheit halber annehmen, dass für die einfallende Strahlung die räumliche Abhängigkeit und die Frequenzabhängigkeit separieren, so hat man \[I_{\nu}(0,y,z,\nu) = f(y,z) g_{\nu}(\nu).\] Dabei wäre dann für eine Zentralfrequenz $\nu_0$ des Laserstrahls im oben von dir angesprochenen Falle eines gaußförmigen Spektrums mit Breite $\Delta \nu$ \[g_{\nu}(\nu) = I_0 \frac{1}{\sqrt{2\pi}\Delta \nu} e^{-\frac{(\nu-\nu_0)^2}{2\Delta \nu^2}}.\] Für ein räumliches Intensitätsprofil mit z.B. Gauß'scher Form der Breite $\Delta r$ wäre schließlich \[f(y,z) = e^{-\frac{y^2+z^2}{\Delta r^2}}.\] LG, semasch


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xquad hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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